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Ka and Broadband Communications Conference
La risoluzione delle PDE richiede una discretizzazione per dli operatori differenziali. Il punto di partenza è considerare il dominio di evoluzione come una griglia caratterizzata da nodi su cui calcolare il valore (discreto) delle grandezze d'interesse.
I metodi di discretizzazione più popolari sono essenzialmente tre: metodo alle differenze finite, metodo ai volumi finiti, metodo agli elementi finiti.
Il metodo alle differenze finite consiste nel calcolare, per ogni step temporale ( anch'esso discreto) il valore di una funzione su ogni nodo del reticolo (i particolari di questo schema numerico sono esposti nel mio lavoro di tesi). Esso è indicato per risolvere le equazioni in forma locale (differenziale).
 
Il metodo ai volumi finiti valuta il valore di una funzione in una cella di volume che è parte del dominio totale; ogni cella è individuata da un nodo. Tale metodo è indicato per risolvere le equazioni in forma integrale e assicura la conservazione delle grandezze in esame.
 

Il metodo agli elementi finiti, in particolare il metodo di Galerkin, consiste nell'approssimare la soluzione delle PDE tramite delle funzioni interpolanti lineari o bilineari. Tale metodo è un caso particolare dei metodi dei residui pesati (weighted residual methods) di cui fa parte anche il metodo spettrale: la differenzatra i due è che nel primo le funzioni interpolanti sono polinomi mentre nel secondo sono funzioni ortogonali come le serie di Fourier o i polinomi di Legendre.

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Differenze Finite

Il Metodo alle Differenze Finite (FDM) è un metodo matematico che permette di approssimare nel discreto le derivate e gli operatori differenziali presenti nelle equazioni differenziali ed è particolarmente utile nello studio numerico delle equazioni differenziali alle derivate parziali. Tale metodo ci permette di discretizzare le derivate di una funzione su svariate griglie regolari e non, costituenti lo spazio discretizzato. Nel nostro caso la discretizzazione viene effettuata su uno spazio uniformemente discretizzato e con contorni definiti, come ad esempio un reticolo con n\times n nodi, attraverso differenze dei valori assunti dalla funzione stessa nei vari punti dello spazio su cui è definita.
Per tale approssimazione si può definire un'accuratezza, ossia l'errore dovuto alla discretizzazione delle derivate.

Derivata in avanti, all'indietro e centrata

Iniziamo con le definizioni più semplici: consideriamo lo spazio limitato e discretizzato rappresentato da un reticolo con nove nodi, ossia una geometria D_{2}Q_{9}, ed ivi definita una funzione \varphi preferibilmente liscia; più precisamente nella letteratura scientifica è detta smooth function, ossia una funzione differenziabile infinite volte (quindi continua) nel suo dominio. In questa geometria spaziale vale \triangle x = \triangle y \equiv h quantità che sarà usata anche nella stima dell'errore ai vari ordini. Osservando la figura seguente

 

 

Si nota come abbiamo varie possibilità di derivazione scegliendo le diverse direzioni. Definiamo derivata in avanti (o forward) della funzione \varphi\left(x,y\right) rispetto ad x la derivata approssimata come segue

\overline{\partial}_{x(+)}\varphi\left(x,y\right) = \frac{\varphi\left(x + h,y\right) - \varphi\left(x,y\right)}{h}

dove come sempre \partial_{x} \equiv \frac{\partial}{\partial x} e la barra sopra il simbolo di derivata sta ad indicare che si tratta di una derivata approssimata con uno schema alle differenze finite; il simbolo (+) indica che la derivata è approssimata con uno schema forward.
Allo stesso modo definiamo derivata all'indietro (o backward) di \varphi\left(x,y\right) rispetto ad x, la derivata approssimata con il seguente schema

\overline{\partial}_{x(-)}\varphi\left(x,y\right) = \frac{\varphi\left(x,y\right) - \varphi\left(x - h, y\right)}{h}

Da queste due definizioni possiamo definire la derivata centrata che non è altro che una media tra le precedenti appena viste

\overline{\partial}_{x}\varphi\left(x,y\right) = \frac{\varphi\left(x + h,y\right) - \varphi\left(x - h,y\right)}{2h}

infatti

\frac{\overline{\partial}_{x(+)}\varphi\left(x,y\right) + \overline{\partial}_{x(-)}\varphi\left(x,y\right)}{2} = \frac{\varphi\left(x + h,y\right) - \varphi\left(x,y\right) + \varphi\left(x,y\right) - \varphi\left(x - h,y\right)}{2h}.

Allo stesso modo si possono definire le derivate forward, backward, centrata rispetto ad y

\overline{\partial}_{y(+)}\varphi\left(x,y\right) = \frac{\varphi\left(x,y + h\right) - \varphi\left(x, y\right)}{h}
 
\overline{\partial}_{y(-)}\varphi\left(x,y\right) &=& \frac{\varphi\left(x,y\right) - \varphi\left(x, y - h\right)}{h}
 
\overline{\partial}_{y}\varphi\left(x,y\right) &=& \frac{\varphi\left(x,y + h\right) - \varphi\left(x,y - h\right)}{2h}.

Dalle quali si può ottenere il gradiente con uno schema centrato

\overline{\mathbf{\nabla}}\varphi\left(x,y\right) = \left( \overline{\partial}_{x}\varphi\left(x,y\right),\mbox{ }\overline{\partial}_{y}\varphi\left(x,y\right)\right) = \left( \frac{\varphi\left(x + h,y\right) - \varphi\left(x -h,y\right)}{2h},\mbox{ }\frac{\varphi\left(x,y + h\right) - \varphi\left(x,y - h\right)}{2h}\right).


Rappresentazione mediante Stencils

Le derivate possono essere espresse in modo più esemplificativo, utilizzando una rappresentazione grafica tramite stencils; esse infatti schematizzano il reticolo adottato come geometria spaziale. Ad esempio la derivata rispetto ad x approssimata con uno schema centrato può essere rappresentata dal seguente stencil

\bar{\partial}_{x}\varphi \left(x,y\right)=\frac{1}{2h}<br />\left[\begin{array}{ccc}<br />0&0&0\\<br />-1&0&1\\<br />0&0&0<br />\end{array} \right]_{\varphi \left(x,y\right)}

mentre la derivata centrata rispetto ad y può essere rappresentata dalla seguente

\bar{\partial}_{y}\varphi \left(x,y\right)=\frac{1}{2h}<br />\left[\begin{array}{ccc}<br />0&1&0\\<br />0&0&0\\<br />0&-1&0<br />\end{array} \right]_{\varphi \left(x,y\right)};

il pedice delle stencils indica la funzione alla quale si applica la derivata.

Consideriamo ora le derivate centrate; effettuiamo un espansione in serie di Taylor di \varphi\left(x,y\right) al secondo ordine in h (ricordiamo che: \triangle x = h, \triangle y = k, e che siamo nel caso in cui \triangle x = \triangle y \Rightarrow h = k; possiamo quindi utilizzare come incremento spaziale h indifferentemente per x ed y)

\varphi(x+h, y) \simeq \varphi(x,y)+h\varphi_{x}+\frac{h^{2}}{2}\varphi_{xx}+\frac{h^{3}}{6}\varphi_{xxx} + \frac{h^{4}}{24}\varphi_{xxxx}

\varphi(x-h, y) \simeq \varphi(x,y)-h\varphi_{x}+\frac{h^{2}}{2}\varphi_{xx}-\frac{h^{3}}{6}\varphi_{xxx} + \frac{h^{4}}{24}\varphi_{xxxx}

\varphi(x, y+h) \simeq \varphi(x,y)+h\varphi_{y}+\frac{h^{2}}{2}\varphi_{yy}+\frac{h^{3}}{6}\varphi_{yyy} + \frac{h^{4}}{24}\varphi_{yyyy}

\varphi(x, y-h) \simeq \varphi(x,y)-h\varphi_{y}+\frac{h^{2}}{2}\varphi_{yy}-\frac{h^{3}}{6}\varphi_{yyy} + \frac{h^{4}}{24}\varphi_{yyyy}<br />

dove i pedici indicano il simbolo di derivata; precisamente \varphi_{x}=\partial_{x}, \varphi_{xx}=\partial_{x}^{2}, \varphi_{xxx}=\partial_{x}^{3}, \varphi_{xxxx}=\partial_{x}^{4} e lo stesso vale per le derivate rispetto ad y.
Con le opportune sostituzioni (dopo aver moltiplicato il primo membro per 2h) si ottiene

2h\overline{\partial}_{x}\varphi\left(x,y\right) = 2h\varphi_{x} + \frac{2h^{3}}{6}\varphi_{xxx}

ovvero

\overline{\partial}_{x}\varphi\left(x,y\right) \simeq \varphi_{x} + \frac{h^{2}}{6}\varphi_{xxx}.

Si osserva quindi come approssimare una derivata con lo schema centrato ha un'accuratezza dell'ordine \mathcal{O}(h^{2}) che si commette un errore del secondo ordine nell'effettuare questa approssimazione. Ovvio che pi\ù h è piccolo, minore è l'errore.
Allo stesso modo si ha

\overline{\partial}_{y}\varphi\left(x,y\right) \simeq \varphi_{y} + \frac{h^{2}}{6}\varphi_{yyy}.

Quindi

\bar{\partial}_{x}\varphi \left(x,y\right)=\frac{1}{h}<br />\left[\begin{array}{ccc}<br />0&0&0\\<br />-\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\<br />0&0&0<br />\end{array} \right]_{\varphi \left(x,y\right)} \simeq \varphi_{x} + \frac{h^{2}}{6}\varphi_{xxx}

 

\bar{\partial}_{y}\varphi \left(x,y\right)=\frac{1}{h}<br />\left[\begin{array}{ccc}<br />0&\frac{1}{2}&0\\<br />0&0&0\\<br />0&-\frac{1}{2}&0<br />\end{array} \right]_{\varphi \left(x,y\right)} \simeq \varphi_{y} + \frac{h^{2}}{6}\varphi_{yyy}

e il gradiente può essere espresso dalla seguente stencil

\overline{\mathbf{\nabla}}\varphi\left(x,y\right)=\frac{1}{h}\left(<br />\left[\begin{array}{ccc}<br />0&0&0\\<br />-\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\<br />0&0&0<br />\end{array} \right]_{\varphi\left(\mathbf{x}, t\right)},\mbox{ }\left[\begin{array}{ccc}<br />0&\frac{1}{2}&0\\<br />0&0&0\\<br />0&-\frac{1}{2}&0<br />\end{array} \right]_{\varphi\left(\mathbf{x}, t\right)}\right).

Con l'ausilio delle derivate approssimate viste in precedenza possiamo trovare le derivate seconde centrate

\overline{\partial}_{x}^{2}\varphi\left(x,y\right) = \frac{\varphi\left(x + h,y\right) + \varphi\left(x - h,y\right) - 2\varphi\left(x,y\right)}{h^{2}}

\overline{\partial}_{y}^{2}\varphi\left(x,y\right) = \frac{\varphi\left(x,y + h\right) + \varphi\left(x,y - h\right) - 2\varphi\left(x,y\right)}{h^{2}}<br />

che sommate danno il laplaciano

\overline{\nabla}^{2}\varphi\left(x,y\right) = \overline{\partial}_{x}^{2}\varphi\left(x,y\right) + \overline{\partial}_{y}^{2}\varphi\left(x,y\right) = \frac{\varphi\left(x + h,y\right) + \varphi\left(x - h,y\right) + \varphi\left(x,y + h\right) + \varphi\left(x,y - h\right) - 4\varphi\left(x,y\right)}{h^{2}}

rappresentato dal seguente stencil

\overline{\nabla}^{2}\varphi\left(x,y\right)=\frac{1}{h^{2}}<br />\left[\begin{array}{ccc}<br />0&1&0\\<br />1&-4&1\\<br />0&1&0<br />\end{array} \right]_{\varphi \left(x,y\right)}

detto laplaciano a cinque punti.


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Differenze Finite: Schemi con stencils pesati

Descriviamo ora le forme più generali delle derivate appena viste e quindi degli operatori differenziali. Si può infatti considerare una derivata dando un peso alle varie direzioni della geometria adottata. Per le derivate rispetto ad x ed y, infatti, la stencil assume una forma più generale

\bar{\partial}_{x}\varphi \left(x,y\right)=\frac{1}{h}<br />\left[\begin{array}{ccc}<br />-B&0&B\\<br />-A&0&A\\<br />-B&0&B<br />\end{array} \right]_{\varphi \left(x,y\right)}

 

\bar{\partial}_{y}\varphi \left(x,y\right)=\frac{1}{h}<br />\left[\begin{array}{ccc}<br />B&A&B\\<br />0&0&0\\<br />-B&-A&-B<br />\end{array} \right]_{\varphi \left(x,y\right)}

dove A e B rappresentano i pesi che hanno le direzioni del reticolo nel calcolo delle derivate. In questo modo variando i pesi si può regolare l'incidenza degli errori di approssimazione. Per vedere ciò calcoliamo prima la forma esplicita delle derivate per poi trovare, tramite uno sviluppo in serie di Taylor, l'accuratezza di questa approssimazione.
Consideriamo prima le seguenti espansioni in serie di Taylor

\varphi(x\pm h, y) \simeq \varphi(x,y)\pm h\varphi_{x}+\frac{h^{2}}{2}\varphi_{xx} \pm\frac{h^{3}}{6}\varphi_{xxx} + \frac{h^{4}}{24}\varphi_{xxxx}

\varphi(x, y\pm h) \simeq \varphi(x,y)\pm h\varphi_{y}+\frac{h^{2}}{2}\varphi_{yy}\pm\frac{h^{3}}{6}\varphi_{yyy} + \frac{h^{4}}{24}\varphi_{yyyy}

\begin{array} \varphi(x+h, y\pm h) \simeq \varphi(x,y)&+&h\varphi_{x}\pm h\varphi_{y}+\frac{h^{2}}{2}\left(\varphi_{xx}+\varphi_{yy}\right)+h^{2}\varphi_{xy}+\frac{h^{3}}{6}\left(\varphi_{xxx}\pm\varphi_{yyy}\right) +\frac{h^{3}}{2}\left(\pm\varphi_{xxy}+\varphi_{xyy}\right)+\\ &&+\frac{h^{4}}{24}\left(\varphi_{xxxx}+\varphi_{yyyy}\right) + \frac{h^{4}}{4}\varphi_{xxyy} \pm \frac{h^{4}}{6}\left(\varphi_{xxxy}+\varphi_{xyyy}\right)\end{array}

\begin{array}\varphi(x-h, y\pm h) \simeq \varphi(x,y)&-&h\varphi_{x}\pm h\varphi_{y}+\frac{h^{2}}{2}\left(\varphi_{xx} + \varphi_{yy}\right)\pm h^{2}\varphi_{xy}+\frac{h^{3}}{6}\left(-\varphi_{xxx}\pm\varphi_{yyy}\right) + \frac{h^{3}}{2}\left(\pm\varphi_{xxy}-\varphi_{xyy}\right)+\\ &&+\frac{h^{4}}{24}\left(\varphi_{xxxx}+\varphi_{yyyy}\right) + \frac{h^{4}}{4}\varphi_{xxyy} \mp \frac{h^{4}}{6}\left(\varphi_{xxxy}+\varphi_{xyyy}\right).\end{array}

La derivata centrata rispetto ad x risulta essere:

h\bar{\partial}_{x}\varphi \left(x,y\right) = A\left[\varphi\left(x + h,y\right) - \varphi\left(x - h,y\right)\right] + B\big[\varphi\left(x + h,y + h\right) + \varphi\left(x + h,y - h\right)-\varphi\left(x - h,y + h\right) - \varphi\left(x - h,y - h\right) \big];

effettuando le sostituzioni opportune e, dopo aver semplificato i termini simili, si ha

h\bar{\partial}_{x}\varphi \left(x,y\right) = 2Ah\varphi_{x} + A\frac{h^{3}}{3}\varphi_{xxx} + 4Bh\varphi_{x} + \frac{2B}{3}h^{3}\varphi_{xxx} + 2Bh^{3}\varphi_{xyy}
da cui

\bar{\partial}_{x}\varphi \left(x,y\right) &=& \left(2A + 4B\right)\left(\varphi_{x} + \frac{h^{2}}{6}\varphi_{xxx}\right) + 2Bh^{2}\varphi_{xyy},

e affinchè abbia senso deve valere la condizione 2A + 4B = 1. Quindi si conclude che la derivata centrata rispetto ad x vale

\bar{\partial}_{x}\varphi \left(x,y\right) = \varphi_{x} + \frac{h^{2}}{6}\varphi_{xxx} + 2Bh^{2}\varphi_{xyy}

con 2A + 4B = 1.

Allo stesso modo si ha

h\bar{\partial}_{y}\varphi \left(x,y\right)=A\left[\varphi\left(x,y + h\right) - \varphi\left(x,y - h\right)\right] + B\big[\varphi\left(x + h,y + h\right) + \varphi\left(x - h,y + h\right)-\varphi\left(x + h,y - h\right) - \varphi\left(x - h,y - h\right) \big];

eseguendo lo stesso procedimento utilizzato pocanzi si ottiene

\bar{\partial}_{y}\varphi \left(x,y\right) = \varphi_{y} + \frac{h^{2}}{6}\varphi_{yyy} + 2Bh^{2}\varphi_{xxy}

con la condizione 2A + 4B = 1.

Si osserva quindi come l'accuratezza è sempre di h^{2} ma può essere regolata tramite i pesi A e B. Possiamo quindi concludere che

\bar{\partial}_{x}\varphi \left(x,y\right)=\frac{1}{h}<br />\left[\begin{array}{ccc}<br />-B&0&B\\<br />-A&0&A\\<br />-B&0&B<br />\end{array}\right]_{\varphi \left(x,y\right)} \simeq \varphi_{x} + \frac{h^{2}}{6}\varphi_{xxx} + 2Bh^{2}\varphi_{xyy}

\bar{\partial}_{y}\varphi \left(x,y\right)=\frac{1}{h}<br />\left[\begin{array}{ccc}<br />B&A&B\\<br />0&0&0\\<br />-B&-A&-B<br />\end{array}\right]_{\varphi \left(x,y\right)} \simeq \varphi_{y} + \frac{h^{2}}{6}\varphi_{yyy} + 2Bh^{2}\varphi_{xxy}

con il vincolo 2A + 4B = 1.

Osserviamo che per A=\frac{1}{2} \Rightarrow B=0 si ottengono i valori che ci riportano al caso standard.

Laplaciano

Lo stencil pi\`{u} generale, detto laplaciano a nove punti, per il laplaciano è

\overline{\nabla}^{2}\varphi \left(x,y\right)=\frac{1}{h^{2}}<br />\left[\begin{array}{ccc}<br />F&E&D\\<br />E&-4\left(E+F\right)&E\\<br />F&E&F<br />\end{array}\right]_{\varphi \left(x,y\right)}\\<br />

la cui espressione formale risulta quindi essere

\begin{array}h^{2}\overline{\nabla}^{2}\varphi \left(x,y\right)=&&E\big[\varphi\left(x + h,y\right) + \varphi\left(x - h,y\right) + \varphi\left(x,y + h\right)+\varphi\left(x,y - h\right) - 4\varphi\left(x,y\right)\big]+\\ &&+F\big[\varphi\left(x + h,y + h\right) + \varphi\left(x - h,y + h\right)+\varphi\left(x + h,y - h\right) + \varphi\left(x - h,y - h\right) - 4\varphi\left(x,y\right)\big].\end{array}

Con le opportune sostituzioni si ha, dopo qualche semplice semplificazione,

h^{2}\overline{\nabla}^{2}\varphi \left(x,y\right) =Eh^{2}\left(\varphi_{xx}+\varphi_{yy}\right) +E\frac{h^{2}}{12}\left(\varphi_{xxxx}+\varphi_{yyyy}\right)+ 2Fh^{2}\left(\varphi_{xx}+\varphi_{yy}\right) + F\frac{h^{4}}{6}\left(\varphi_{xxxx}+\varphi_{yyyy}\right) + Fh^{4}\varphi_{xxyy}

da cui, semplificando h^{2} e mettendo in evidenza i fattori comuni, segue

\overline{\nabla}^{2}\varphi \left(x,y\right) = \left(E + 2F\right)\left(\varphi_{xx}+\varphi_{yy}\right) + \left(E + 2F\right)\frac{h^{2}}{12}\left(\varphi_{xxxx}+\varphi_{yyyy}\right)+ Fh^{2}\varphi_{xxyy}

che ha senso se E + 2F = 1; quindi

\overline{\nabla}^{2}\varphi \left(x,y\right) = \nabla^{2}\varphi + \frac{h^{2}}{12}\left(\partial_{x}^{4} + \partial_{y}^{4}\right)\varphi + Fh^{2}\partial_{x}^{2}\partial_{y}^{2}\varphi

con il vincolo sui pesi sopra scritto. In conclusione, si ottiene il laplaciano a nove punti

\overline{\nabla}^{2}\varphi \left(x,y\right)=\frac{1}{h^{2}}<br />\left[\begin{array}{ccc}<br />F&E&F\\<br />E&-4\left(E+F\right)&E\\<br />F&E&F<br />\end{array} \right]_{\varphi \left(x,y\right)}\simeq \nabla^{2}\varphi + \frac{h^{2}}{12}\left(\partial_{x}^{4} + \partial_{y}^{4}\right)\varphi + Fh^{2}\partial_{x}^{2}\partial_{y}^{2}\varphi

con E + 2F =1.

Anche in questo caso che i valori E=1 \Rightarrow F=0 corrispondono al caso standard, rappresentato dal laplaciano a cinque punti.


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Metodi dei Residui pesati


I Metodi dei Residui pesati (WRM dall'inglese Weighted residual methods) sono concettualmente diversi dallo schema alle differenze finite. I primi infatti assumono che la soluzione può essere rappresentata analiticamente attraverso una soluzione di partenza approssimata e una funzione rappresentante il Residuo. Dai metodi dei residui pesati discendono il metodo ai volumi finiti e algli elementi finiti e il metodo spettrale. Consideriamo come caso esempio l'equazione di diffusione del calore

\frac{\partial\overline{T}}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^{2}\overline{T}}{\partial x^{2}}

dove la barra sopra T indica la soluzione esatta. Il punto di partenza è quello di assumere una soluzione approssimata T nel seguente modo

T(x, y, z, t)= T_{0}(x, y, z,t)+\sum_{j=1}^{J}a_{j}\left(t\right)\phi_{j}\left(x,y,z\right) (1)

dove T_{0}(x, y, z, t) viene scelto in modo tale che siano soddisfatte al meglio le condizioni al contorno e iniziali. \phi_{j}\left(x,y,z\right) sono delle funzioni note, scelte in modo tale da interpolare al meglio la soluzione esatta, che hanno una forma polnomiale o trigonometrica come ad esempio

\phi_{j}\left(x,y,z\right) = x^{j-1} o anche \phi_{j}\left(x,y,z\right) = \sin\left(j\pi x\right).

a_{j}\left(t\right) sono coefficienti da determinare risolvendo un sistema di equazioni generate dall'equazione principale.

Si assume che

L\left(\overline{T}\right) = \frac{\partial\overline{T}}{\partial t} - \alpha\frac{\partial^{2}\overline{T}}{\partial x^{2}} = 0 (2)

che non sarà identicamente nulla se in essa si sostituisce la (1) ed esisterà quindi un'equazione residua

L\left(T\right) = R , (3)

in generale continua in x,y,z,t.

Per J sufficientemente grande i coefficienti a_{j}\left(t\right) possono essere scelti in maniera tale che R sia piccolo nel dominio computazionale, per cui possono essere determinati con la condizione che l'integrale sulla funzione R nel dominio computazionale sia nullo

\int\int\int W_{m}(x,y,z)R dxdydz = 0, (4)

generando un sistema di M equazioni (m= 1,..., M) nelle incognite a_{j}. Dal momento che i coefficienti a_{j} possono dipendere dal tempo il sistema sarà rappresentato da equazioni differenziali ordinarie nel caso non stazionario, mentre nel caso stazionario sarà un sistema di equazioni algebriche.

Le funzioni W_{m}(x,y,z) rappresentano i pesi o funzioni test e in base alla scelta della loro forma funzionale si hanno diversi metodi appartenenti alla categoria dei metodi dei residui pesati, alcuni dei quali sono di seguito elencati.


- Metodo dei Sottodomini

Si suddivide il dominio computazionale in M sottodomini D_{m}, che possono essere sovrapposti, e si pone

W_{m} = 1 all'interno di D_{m},

W_{m} = 0 al di fuori di D_{m}.

Tale metodo coincide con il metodo ai volumi finiti ed ha la caratteristica importante di garantire le leggi di conservazione anche con la discretizzazione dal momento che quest ultima viene effettuata sulle leggi integrali; in questo modo si ottengono soluzioni accurate in particolar modo per i flussi interni o flussi con onde d'urto.

- Metodo di Collocazione

Si sceglie

Wm(x) = \delta\left(x-x_{m}\right), (6)

dove \delta\left(x-x_{m}\right) è la delta di Dirac e x=(x, y, z).
 
Tale metodo lo si ricava ponendo R(x_{m}) = 0 nell'integrale (4). Il metodo alle differenze finite è in un certo senso un metodo di collocazione con la differenza che nel primo non si utilizzano soluzioni approssimate. Una variante particolare è rappresentata dal metodo di collocazione ortogonale, in cui le funzioni interpolanti sono funzioni polinomiali ortogonali e le incognite rappresentano i valori nodali di T, mentre i punti di collocazione x_{m} sono scelti dagli zeri di una delle funzioni polinomiali ortogonali.

- Metodo di Galerkin

Si scelgono

W_{m}\left(x,y,z\right) = \phi_{m}\left(x,y,z\right), (8)

Se le funzioni approssimanti formano un insieme completo (ad esempio un insieme completo per una polinomiale è rappresentato da 1, x^{2}, x^{3},\ldots, x^{M} ), si ha che la funzione residua risulta rtogonale ad ogni elemento dell'insieme completo e di conseguenza la soluzione approssimata T, convergerà alla soluzione esatta \overline{T} per M che tende ad infinito.


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