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Ka and Broadband Communications Conference
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Metodo Esplicito (per l'equazione di diffusione del calore)

Consideriamo come equazione parabolica l'equazione di diffusione del calore unidimensionale

\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}

ottenibile dall'equazione dell'energia considerando il fluido in quiete o la cui velocità è trascurabile, e con conduttività termica e calore specifico costanti.
Il metodo esplicito consiste nel discretizzare le derivate temporali con uno schema alle differenze finite in avanti (forward) e il laplaciano con uno schema alle differenze finite centrato:

per i fissato \rightarrow \frac{\partial T}{\partial t} \simeq \frac{1}{\Delta t}\left(T^{n+1}_{i} - T^{n}_{i}\right)

per n fissato \rightarrow \frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}} \simeq \frac{1}{\Delta x^{2}}\left(T^{n}_{i+1} - 2T^{n}_{i} + T^{n}_{i-1}\right)

e di conseguenza l'equazione di diffusione discretizzata diventa

T^{n+1}_{i} = T^{n}_{i} + \alpha\frac{\Delta t}{\Delta x^{2}}\left(T^{n}_{i+1} - 2T^{n}_{i} + T^{n}_{i-1}\right).

Quindi per n fissato ci calcoliamo il valore di T su ogni sito i del reticolo.
Il metodo è esplicito in quanto il valore di T sul sito i allo step temporale n+1 dipende dal valore assunto da T nello step precedente che è noto.

Trattandosi di una PDE parabolica è ovvio che bisogna tener conto delle condizioni iniziali e al contorno

x = 0 \Rightarrow T=T_{in}(t)
x = L \Rightarrow T=T_{L}(t)
t = 0 \Rightarrow T=T_{0}(x)

per cui l'espressione dell'equazione del calore sopra scritta vale per n\geq 1 e per i = 1, \cdots, I-1 dove il sito I del reticolo rappresentante lo spazio discretizzato corrisponde alla coordinata x=L nello spazio continuo. 

E' importante osservare che ai fini della stabilità numerica deve valere 

\alpha\frac{\Delta t}{\Delta x^{2}} < \frac{1}{2}
 


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Metodo di Crank-Nicolson

Il metodo implicito di Crank-Nicolson rimuove il soddisfacimento della condizione di stabilità presente nel metodo esplicito; è quindi molto utile per simulazioni che prevedono molti step di simulazione.

La caratteristica principale del metodo è che la derivata spaziale nel sito i viene calcolata attorno al livello temporale n+\frac{1}{2}. Applicando il metodo all'equazione di diffusione del calore si arriva alla forma discretizzata seguente

T^{n+1}_{i} - T^{n}_{i} = \frac{\alpha}{2}\frac{\Delta t}{\Delta x^{2}}\left[\left(T^{n+1}_{i+1} - 2T^{n+1}_{i} + T^{n+1}_{i-1}\right) + \left(T^{n}_{i+1} - 2T^{n}_{i} + T^{n}_{i-1}\right)\right]


dove il primo menbro è una derivata temporale discretizzata con uno schema in avanti mentre il secondo membro è la somma di due laplaciani: il primo è discretizzato con uno schema centrato al livello temporale n+1, il secondo con uno schema centrato al livello temporale n.

In generale il metodo di C-N è un caso particolare dello schema trapezoidale

\frac{T^{n+1}_{i} - T^{n}_{i}}{\Delta T} = \frac{\alpha}{2\Delta x^{2}} \left[\lambda\left(T^{n+1}_{i+1} - 2T^{n+1}_{i} + T^{n+1}_{i-1}\right)+ \left(1-\lambda\right)\left(T^{n}_{i+1} - 2T^{n}_{i} + T^{n}_{i-1}\right)\right]


con \lambda = \frac{1}{2}; \lambda = 0 corrisponde allo schema esplicito.

La condizione di stabilità per lo schema trapezoidale è

\alpha \frac{\Delta t}{\Delta x^{2}} \leq \frac{1}{2\left(1 - 2\lambda\right)};

ovviamente nel metodo esplicito \lambda = 0 porta alla condizione di stabilità nota \alpha \frac{\Delta t}{\Delta x^{2}} \leq \frac{1}{2}

mentre nel metodo di Crank-Nicolson  \lambda = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha \frac{\Delta t}{\Delta x^{2}} \leq \infty

il che dimostra quanto detto inizialmente e quindi tale metodo è incondizionatamente stabile.

Solitamente l'equazione del calore unidimensionale trattata con il metodo di Crank-Nicolson da luogo ad un sistema lineare tridiagonale risolvibile con l'algoritmo di Thomas. 

 


 


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