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Ka and Broadband Communications Conference
Conseguenza dell'approssimazione delle PDE sono gli errori di discretizzazione.Tali errori possono propagarsi o meno ad ogni evoluzione da nodo a nodo della griglia computazionale. In generale lo schema alle differenzefinite per una PDE deve soddisfare alcuni reuisiti, ossia:
 
  • Accuratezza. Il calcolatore effettua un arrotondamento ad un numero finito di cifre, arrotondamento che viene effettuato in ogno step per calcoli iterati; questo porta ad errori di Round-off. E' quindi evidente che aumentando i punti della griglia computazionale si hanno meno errori di troncamento ma più errori di round-off (e viceversa).
  • Consistenza. Uno schema alle differenze finito applicato alle PDE è consistente se infittendo la griglia computazionale (aumentando il numero di nodi)diminuisce l'errore di troncamento.
  • Stabilità. Si ha stabilità quando all'infittirsi della griglia la soluzione numerica converge a quella analitica. La stabilità riguarda problemi di "marcia" ossia a problemi di evoluzione nel tempo le cui soluzioni quindi vengono effettuate a step temporali. Non si applica quindi a problemi di equilibrio governati da equazioni ellittiche.
La stabilità può essere forte o debole, a seconda che ll'errore di roun-off sia globale o in un singolo punt. E' nell'ultimo caso che viene effettuata l'analisi in quanto lo studio della stabilità forte è difficile (per non dire impossibile) da effettuare.

L'analisi di stabilità debole viene effettuato secondo il metodo di Von Neumann, basato su un'analisi di Fourier.

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Accuratezza

L'arrotondamento che effettua l'elaboratore elettronico durante le simulazioni numeriche porta ad errori detti Errori di Round Off. In un calcolo iterato, infatti, viene effettuato un arrotondamento per ogni step. Tali errori sono proporzionali al numero di punti sulla griglia computazionale, per cui una griglia fitta porta ad un aumento di errori di round off, ma anche ad una diminuzione di Errori di Troncamento.


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Consistenza

Nell'approssimazione di una PDE con uno schema alle differenze finite possiamo valutare, quando possibile, la differenza tra la soluzione numerica e quella analitica. Una rappresentazione alle differenze finite si dice Consistente se

Soluzione analitica - Soluzione alle differenze finite \longrightarrow_{h\rightarrow 0} 0
 

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Stabilità

La stabilità è applicabile solo a problemi di marcia, per cui non è applicabile a problemi di equilibrio rappresentati da PDE Ellittiche.

Uno schema approssimato è Stabile quando da uno step d'interazione al successivo gli errori di ogni natura non crescono. In particolare uno schema sarà convergente se è stabile e consistente, ossia quando la soluzione numerica tende a quella analitica all'infittirsi della griglia.

Distinguiamo la stabilità forte da quella debole.

Stabilità Forte

Errore round off globale (in tutti i punti) Cresce \longrightarrow Instabilità

Errore round off globale (in tutti i punti) Non Cresce \longrightarrow Stabilità

Stabilità Debole

Errore round off in un punto Cresce \longrightarrow Instabilità

Errore round off in un punto Non Cresce \longrightarrow Stabilità

L'analisi di stabilità forte è di difficile studio, se non impossibile, per cui si ricorre allo studio della stabilità debole tramite l'analisi di Von Neumann che fa ricorso all'analisi di Fourier.



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 Analisi di Stabilità di Von Neumann

Denotiamo con

PDE = Soluzione Analitica;
N = Soluzione Numerica;
D = Soluzione numerica esatta (ossia con accuratezza infinita);
r = errore di round off;

Ovviamente

N = D + r

PDE Paraboliche

Consideriamo come PDE parabolica l'equazione del calore

\frac{\partial T}{\partial t} - \alpha\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}} = 0

discretizzata con uno schema FTCS

T_{j}^{n+1} - T_{j}^{n} - \alpha\frac{\Delta t}{\Delta x}\left(T_{j+1}^{n} - 2T_{j}^{n} + T_{j-1}^{n}\right) = 0.

e sostituiamo la relazione N = D + r; ricordando che la soluzione D deve essere soddisfatta (D=0) si ottiene

r_{j}^{n+1} - r_{j}^{n} - \alpha\frac{\Delta t}{\Delta x}\left(r_{j+1}^{n} - 2r_{j}^{n} + r_{j-1}^{n}\right) = 0_{m}  (zero macchina).

Dal momento che c'è evoluzione temporale di r così come per D, possiamo effettuare l'analisi in serie di Fourier.

Siano

2L intervallo di oscillazione

m = numero oscillazioni complete in 2L

k_{m} = \frac{2m\pi}{2L}, m = 0,1,...,M     Numero d'onda

M = m_{max}

\beta = k_{m}\Delta x

f_{m} = \frac{k_{m}}{2\pi} = \frac{m}{2L} frequenza della m-esima armonica.

Possiamo scrivere l'errore di round off in serie di Fourier

r\left(x,t\right) = \sum_{m}b_{m}\left(t\right)e^{ik_{m}x} = \sum_{m} r_{m}\left(x,t\right);

essendo nel campo dei numeri complessi, b_{m} può essere scritto come una fase

b_{m} = e^{at}

per cui

r\left(x,t\right) = \sum_{m}e^{at}e^{ik_{m}x}

Nelle precedenti possiamo sostituire quindi

t \rightarrow n

t + \Delta t \rightarrow n + 1

x \rightarrow j

x + \Delta x \rightarrow j + 1

e sostituire la forma in serie per r.

Possiamo quindi definire

\chi = \alpha\frac{\Delta t}{\Delta x}

G = \frac{r_{j}^{n+1}}{r_{j}^{n}} Fattore di Amplificazione.

La schematizzazione quindi risulta stabile se l'errore di round off ad n+1 è minore rispetto allo step temporale n, ossia quando

r_{j}^{n+1} \leq r_{j}^{n}

per cui la condizione di stabilità risulta

|G|\leq 1 \rightarrow Stabilità (debole)

dove si è utilizzato il modulo in quanto G è un numero complesso. Sostituendo in G le forme esponenziali per r e ricordando alcune relazioni che legano gli esponenziali alle funzioni sin e cos nel campo complesso si ottiene

|G| = |1 - 4\chi sin^{2}\frac{\beta}{2}| \leq 1

da cui la condizione di stabilità

\chi \leq \frac{1}{2}.

Nel caso 2-dimensionale

|G| = |1 - 4\chi_{x} sin^{2}\frac{\beta_{x}}{2} - 4\chi_{y} sin^{2}\frac{\beta_{y}}{2} | \leq 1

\chi_{x} + \chi_{y}\leq \frac{1}{2}.

PDE Iperboliche

Per l'equazione di Burger non viscosa (PDE iperbolica)

G = cos\beta - i\nu sin\beta

|G| = |cos\beta - i\nu sin\beta| \leq 1 \Rightarrow \sqrt{cos^{2}\beta + \nu^{2}sin^{2}\beta} \leq 1

da cui

|\nu| \leq 1

dove

\nu = c\frac{\Delta t}{\Delta x} Numero di Courant.

Quindi la condizione di stabilità diventa

|c\frac{\Delta t}{\Delta x}| \leq 1.


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