• Full Screen
  • Wide Screen
  • Narrow Screen
  • Increase font size
  • Default font size
  • Decrease font size
Ka and Broadband Communications Conference
I fenomeni fluidodinamici, così come i fenomeni non lineari dinamici sono governati da leggi dalla struttura matematica complicata: stiamo parlando di equazioni alle derivate parziali ( PDE dall'inglese Partial Differential Euations). L'equazione di Navier-Stokes è una PDE così come l'equazione di convezione-diffusione, l'equaione del calore e dell'energia. Se si guarda ad altri sistemi, come quelli economici, ci si convince che molti fenomeni dinamici sono descritti da PDE: si pensi all'equazione di Black-Scholes che descrive l'andamento dei prezzi dei mercati nel tempo.
E' quindi grande l'interesse verso la risoluzione verso questi tipi di equazioni, soluzione di tipo numerico effettuata tramite calcolatori. L'idea è quella di approssimarle, tramite opportuni schemi numerici, ad equazioni differenziali ordinarie (ODE dall'inglese Ordinary differential equations) o ad equazini algebriche.
Stampa

Generalità sulle Equazioni alle derivate parziali

Una generica PDE può essere scritta nella seguente forma
 
Af_{xx} + Bf_{xy} + Cf_{yy} + Df_{x} + Ef_{y} + Ff = G
 
dove f\left(x,y,z,t \right) è una generica funzione, soluzione della PDE ed i pedici indicano la variabile rispetto a cui f è derivata. Una PDE è caratterizzata come segue:
 
 
 PDE Lineare
 Le derivate parziali appaiono in forma lineare ed i coefficenti non dipendono da f
 
 PDE non Lineare I coeff. dipendono da f e/o le derivate parziali appaiono in forma non lineare
 
 PDE Omogenea Equazione del tipo \nabla^{2}f = 0 (eq. di Laplace)
 
 PDE non Omogenea
 Equazione del tipo \nabla^{2}f = F(x,y,z) (eq. di Poisson) 
 PDE quasi lineare 2° ordine non omogenea Af_{xx} + Bf_{xy} + Cf_{yy} + Df_{x} + Ef_{y} + Ff = G

A,B,C possono dipendere da x,y,f_{x},f_{y}

D,E,F possono dipndere da x,y,f

G può dipendere da x,y

 PDE quasi lineare 1° ordine non omogenea  af_{t} + bf_{x} = c a,b,c possono dipendere da x,t,f
 Sistema PDE quasi lineare 1° ordine non omogenee

af_{t} + bf_{x} + cg_{t} + dg_{x} = e


Af_{t} + Bf_{x} + Cg_{t} + Dg_{x} = E

A,B,C,D,E,a,b,c,d,e possono dipendere da x,y,f,g
 
 
 

Stampa

Classificazione delle PDE

 
Una PDE può essere classificata in base alle sue caratteristiche. Una caratteristica è una ipersuperficie n-1 dimensionale lungo la quale si propaga l'informazione di una PDE (anche le discontinuità si propagano lungo di essa).  Una caratteristica può essere reale o complessa. Nell'ultimo caso le informazioni si propagano in ogno punto del dominio e quindi si influenzanole une con le altre (questo è il caso dei problemi di equilibrio). 
 
PDE quasi lineare 2° ordine non omogenea
 
Differenziando f_{x} ed f_{y}
df_{x} = f_{xx}dx + f_{xy}dy
df_{y} = f_{yx}dx + f_{yy}dy
si ottiene un sistema in forma matriciale
 
\left(\begin{array}{ccc}<br />A & B & C \\<br />dx & dy & 0 \\<br />0 & dx & dy \\<br />\end{array}<br />\right)\left(\begin{array}{c}<br />f_{xx}\\<br />f_{xy}\\<br />f_{yy}\\<br />\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}<br />-Df_{x} - Ef_{x} - F + G\\<br />df_{x}\\<br />df_{y}\\<br />\end{array}\right).

Ponendo pari a zero il determinante si ottiene una equazione differenziale per la caratteristica

\frac{dx}{dy} = \frac{B\pm\Delta}{2A}

per cui

\Delta > 0 \rightarrow 2 caratteristiche reali \Rightarrow PDE Iperbolica

\Delta = 0 \rightarrow 2 caratteristiche reali coincidenti \Rightarrow PDE Parabolica

\Delta < 0 \rightarrow nessuna caratteristica reale \Rightarrow PDE Ellittica

 
Sistema PDE quasi lineare 1° ordine non omogenee \rightarrow Con ragionamenti del tutto analoghi al casoprecedente si arriva alle stesse conclusioni
 
PDE quasi lineare 1° ordine non omogenea \rightarrow Una singola PDE del primo ordine è sempre Parabolica.
 
 
Molta attenzione bisogna porre a particolari PDE come ad esempio l'equazione di convezione diffusione: essa è un'equazione ellittica in quanto non ha caratteristiche reali; tuttavia presenta termini del primo ordine che hanno caratteristiche reali che danno il loro contributo.
 
Le PDE descrivono sistemi con diversi tipi di evoluzione. in particolare:
 
PDE Ellittica: descrive problemi di equilibrio. Non essendoci caratteristiche reali ogni punto del dominio è interessato all'evoluzione verso una condizione di equilibrio.
 
PDE Paraboliche e Iperboliche: descrivono problemi di propagazione. Una grandezza si propaga lungo cammini in un dominio limitato o illimitato in uno o due versi di propagazione.
 
 
 Solitamente le leggi che regolano determinati sistemi sono accompagnate da contizioni sugli istanti iniziali e sui contorni del dominio in cui avviene l'evoluzione in modo tale che la soluzione sia unica per il problema specifico che su vuol studiare. Per i problemi stazionari ( non dipendenti dal tempo) le condizioni al contorno possono essere di tre tipi:
 
  • Condizione di Dirichlet: si specifica il valore della soluzione f lungo il contorno del dominio di evoluzione;
  • Condizione di Neumann: si specifica unail valore della derivata di f perpendicolare ad ogni punto del contorno \partial_{n}f, con n vettore normale al contorno;
  • Condizione mista: si specificano entrambe le condizioni precedenti af + \partial_{n}f
 Per problemi stazionari, oltre alle condizioni al contorno appena scritte, vanno specificate in aggiunta le condizioni iniziali:
  • Per PDE al primo ordine: f\left(x,y,z,0\right) = F\left(x,y,z\right) 
  • Per PDE al secondo ordine: f\left(x,y,z,0\right) = F\left(x,y,z\right)  e una condizione sul primo ordine \partial_{t}f = G\left(x,y,z\right)
 Nello specificare le condizioni iniziali e al contorno per i diversi tipi di PDE bisogna sempre essere certi che il problema sia ben posto; un problema è ben posto se (Hadamard, 1923)
  1. Esiste la soluzione;
  2. La soluzione è unica;
  3. La soluzione dipende con continuità dai valori iniziali e al contorno.

 


Stampa

Esempi di PDE paraboliche in fluidodinamica

Vediamo alcuni esempi di PDE paraboliche in fluidodinamica.

Dall'equazione dell'energia, considerando trascurabile il campo di velocità (flusso stazionario o con piccole velocità) e considerando costanti il calore specifico e la conducibilità termica, si ottiene l'equazione di diffusione del calore

\frac{\partial T}{\partial t} - \alpha\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}};

essa è non stazionaria in quanto è presente una derivata temporale di T per cui si considera T variabile nel tempo.

Nel caso in cui il campo di velocità non può essere trascurato nella precedente compare un altro termine, il termine convettivo, ragion per cui l'equazione è detta equazione di convezione-diffusione del calore

\frac{\partial T}{\partial t} + u\frac{\partial T}{\partial x}= \alpha\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}};
 
che è sempre una PDE Parabolica.

Un altro esempio di PDE parabolica è l'equazione di Burger

\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} = \nu\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}

che è non lineare. Questa equazione fu introdotta da Burger per riprodure in modo semplificato il campo di velocità di un fluido senza trascurarne gli effetti essenziali come la non stazionarietà, la convettività e gli effetti viscosi e ovviamente la non linearità. Vengono trascurati invece i contributi del gradiente di pressione.


Altri Articoli...

Pagina 1 di 2

  • «
  •  Inizio 
  •  Prec. 
  •  1 
  •  2 
  •  Succ. 
  •  Fine 
  • »
Sei qui: