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Ka and Broadband Communications Conference

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Turbolenza

I fenomeni turbolenti, tra i quali quelli fluidodinamici, hanno la peculiarità di essere dei sistemi dinamici non lineari, caotici la cui natura risiede in alcuni termini delle quazioni che li governano; essi in oltre, dipendono fortemente dalle condizioniiniziali: uo stesso esperimento, quindi, può essere rispodotto più volte ottenendo situazioni finali differenti le une dalle altre. La natura di questa non linearità risiede in alcuni termini delle equazioni che governano un sistema: in fluidodinamica, infatti, il campo di velocità può assumere una dipendenza dal tensore di stress viscoso; la viscosità, inoltre può dipendere dalla temperatura del sistema la quale può variare al variare dell'energia. La natura fisica della turbolenza può essere compresatramite uno studio che prende in considerazione differenti scale di lunghezza, tempo ed energia, come dimostra la teoria di Kolmogorow ed i suoii sviluppi.

Un'analisi in serie di Fourier mette in evidenza tre regimi fluidodinamici diversi: uno in cui prevalgono gli effetti viscosi che inibiscono trasferimenti di energia da strutture del sistema grandi a quelle più piccole (inibendo gli effetti turbolenti); in un altro prevalgono gli effetti inerzialiin cui l'energia viene trasferita dlle grandi strutture del sistema a quelle più piccole generando turbolenza. C'è infine la situazione intermedia.

Lo stesso fu osservato da Reynolds in modo sperimentale, il quale introdusse un coefficente che prese il suo nome, tramite il valore del quale caratterizzòi tre regimi.

Tipi di turbolenza

La turbolenza può essere:

  • Isotropa, quando le grandezze sono invarianti per cambio di sistema di riferimento;
  • Omogenea, quando le grandezze non variano nello spazio;
  • Omogenea e isotropa, quano si verificano le precdenti;
  • Libera;
  • Di parete, quando si presenta in prossimità di una parete.

Da tutte le considerazioni fatte è facile dedurre che le equazioni di sistemi turbolenti possono essere risolte numericamentetramite.

Un approccio è rappresentato dall risoluzione diretta delle equazioni di Navier-Stokes, noto in letteratura come DNS (Direct Numerical Simulation), integrazione che permetterebbe di ottenere soluzioni molto dettagliate ma che richiederebbe ''costi'' computazionalielevatissimi (tempi di simulazione, memoria ram, ecc..) dal momento che l'evoluzione delle grandezze fluidodinamiche dovrebbe avvenire su griglie computazionali con un elevato numero di nodi. L'uso della DNS è quindi limitato al caso di numeri di Reynolds moderati, in modo tale da dover utilizzare geometrie semplici e quindi griglie poco fitte.

Il metodo più diffuso è il cosidetto RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) : in esso si considerano medie temporali sulle velocità, quindi i loro valori medi ai quali vanno aggiunti termini di fluttuazione. Se  \mathbf{u}({\mathbf{x},t}) è la velocità macroscopica del fluido, \mathbf{u}^{\prime} il termine di fluttuazione, U la sua media, si pone

\mathbf{u}({\mathbf{x},t}) = U + \mathbf{u}^{\prime};

sostituendo queetsa espressione nelle equazioni di Navier-Stokes e mediando, si ottiene un'equazione che differisce nella forma da quella originale per un termine aggiuntivo che rappresenta gli effetti della turbolenza. Lo stesso vale per l'equazione dell'energia. Senza entrare nei dettagli, i termini turboleni che escono fuori sono la viscosità turbolenta e la diffusività termica turbolenta, che sono alla base della non chiusura delle equazioni del moto.

Un altro approccio standard è rappresentato dal LES (Laerge Eddy Simulation), che risolve le equazioni del moto nelle scale di lunghezza e tempo dei grandi vortici, mentre per le scale più piccole vengono utilizzati modelli basati sulla viscosità turbolenta. In aggiunta vengono utilizzate procedure di filtro per separare grandi e piccole scale.

Esiste un approccio ibrido, che integra sia il LES che il RANS: esso è il DES (Detached Eddy Simulation), in cui viene utilizzata una procedura RANS per flussi vicino le pareti e una procedura LES lontano dalle pareti.

Modelli

I principali modelli di turbolenza sono classificabili come segue:

 Modelli Algebrici  Modelli ad una equazione Modelli  due equazioni
Modelli \overline{u^{2}} - f e \zeta - f
Modelo Baldwin-LomaxModello di Prandtl
 Modello \kappa - \varepsilon
 Modello \overline{u^{2}} - f
 Modello Johnson-King
Modello Baldwin-Barth
Modello \kappa - \omega
Modello \zeta - f
 Modello Cebeci-Smith
Modello Spalart-Allmaras
  


Come si vedrà nei prossimi articoli, l'approccio RANS fa emergere nuove nuove incognite e con la conseguenza del problema della chiusura: ci si ritrova infatti con un numero di incognite superiore al numero di equazioni del sistema in esame.

La soluzione di tale sistema viene effettuata facendo alcune assunzioni. Nei modelli algebrici le assunzioni che vengono fatte non comportano ulteriori equazioni da risolvere, motivo per cui tali modelli sono anche detti a zero equazioni. I modelli ad una equazione invece prevedono una nuova equazione aggiuntiva da risolvere mentre i problemi a due equazioni ne prevedono per l'appunto due aggiuntive.

 


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Scale caratteristiche della turbolenza

Come già accennato, una grandezza che evolve in modo turbolento si può studiare decomponendola in un termine che identifica la sua media temporale ed una componente che rappresenta le fluttuazioni dovute per l'appunto alla turbolenza; ad esempio nel caso della velocità di un fluido

u\left(x,t\right) = U + u^{\prime}

dove U rappresenta la media temporale calcolata come segue

U = \frac{1}{\Delta t}\int_{-\Delta t/2}^{+ \Delta t/2}udt

dove \Delta t rappresenta un periodo temporale su cui viene effettuata la media; la media temporale sul periodo \Delta t della fluttuazione u^{\prime} è nulla, mentre non lo è la sua media quadratica

\overline{u^{\prime2}} = \frac{1}{\Delta t}\int_{-\Delta t/2}^{+ \Delta t/2}\left(u - U\right)dt

Se consideriamo il caso generale in tre dimensioni possiamo caratterizzare la turbolenza tramite il coefficiente di correlazione

C_{ij} = \overline{u_{i}u_{j}}

dove i,j rappresentano le componenti spaziali x,y,z.
Un valore non nullo del coefficiente di correlazione indica quindi che le velocità lungo le diverse componenti sono correlate. Nella turbolenza, infatti, sono presenti strutture caratterizzate da variabili correlate, ossia dei vortici, noti in letteratura scientifica con il termine inglese eddies. Secondo l'idea di Kolmogorov tali vortici posono trasferire energia cinetica a vortici più piccoli e così via in un processo a catena finchè non viene raggiunta una scala in cui viene dissipata in calore: questa è la scala dei piccoli vortici per la quale si possono identificare

Viscosità  cinematica \longrightarrow \nu = \frac{\eta}{n}

Energia cinetica dissipata per unità di tempo \longrightarrow \epsilon = -\frac{dk}{dt}

da cui si ricavano le scale caratteristiche per i piccoli vortici alle quali avviene dissipazione

\tau \sim \sqrt{\frac{\nu}{\epsilon}} \longrightarrow scala di tempo caratteristica,

\ell \sim \left(\frac{\nu^{3}}{\epsilon}\right)^{1/4} \longrightarrow scala di lunghezze caratteristica

u_{\tau} \sim \left(\nu\epsilon\right)^{1/4} \longrightarrow scala di velocità caratteristica.


 


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RANS

Vediamo ora le equazioni di Navier-Stokes alle medie di Reynolds, inentificate con l'acronimo RANS (dall'inglese Reynolds Averaged Navier-Stokes equations).
Bisogna considerare le equazioni di Navier-Stokes sostituendo alle velocità u la decomposizione {/tex}\mathbf{u} = \mathbf{U} + \mathbf{u}^{\prime}{/tex} e alla pressione p la decomposizione p = P + p^{\prime}; quindi sostituiremo le precedenti decomposizioni nella seguente

n\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} +n\mathbf{\nabla}\left(\mathbf{uu}\right) = -\frac{1}{n}\mathbf{\nabla }p + \nu\mathbf{\nabla}^{2}\mathbf{u}

ottenendo

n\frac{\partial \left(\mathbf{U} + \mathbf{u}^{\prime}\right)}{\partial t} +n\mathbf{\nabla}\left[\left(\mathbf{U} + \mathbf{u}^{\prime}\right)\left(\mathbf{U} + \mathbf{u}^{\prime}\right)\right] = -\frac{1}{n}\mathbf{\nabla }\left(P + p^{\prime}\right) + \nu\mathbf{\nabla}^{2}\left(\mathbf{U} + \mathbf{u}^{\prime}\right).


Sviluppiamo singolarmente i termini dell'equazione ottenuta:

n\frac{\partial \left(\mathbf{U} + \mathbf{u}^{\prime}\right)}{\partial t} = \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{u}^{\prime}}{\partial t} \longrightarrow lineare

\mathbf{\nabla }\left(P + p^{\prime}\right) = \mathbf{\nabla }P + \mathbf{\nabla }p^{\prime} \longrightarrow lineare

\mathbf{\nabla}^{2}\left(\mathbf{U} + \mathbf{u}^{\prime}\right) = \mathbf{\nabla}^{2}\mathbf{U} + \mathbf{\nabla}^{2}\mathbf{u}^{\prime} \longrightarrow lineare

\mathbf{\nabla}\left[\left(\mathbf{U} + \mathbf{u}^{\prime}\right)\left(\mathbf{U} + \mathbf{u}^{\prime}\right)\right] = \mathbf{\nabla}\left(\mathbf{UU}\right) + \mathbf{\nabla}\left(\mathbf{Uu^{\prime}}\right) + \mathbf{\nabla}\left(\mathbf{u^{\prime}U}\right) + \mathbf{\nabla}\left(\mathbf{u^{\prime}u^{\prime}}\right) \neq \mathbf{\nabla}\left(\mathbf{UU}\right) + \mathbf{\nabla}\left(\mathbf{u^{\prime}u^{\prime}}\right)\longrightarrow non lineare.

Se effettuiamo le medie dei termini appena sviluppati, ricordando che

la media di \mathbf{U} è ancora \mathbf{U} e lo stesso vale per P,

la media di \mathbf{u^{\prime}} è nulla, così come per \mathbf{p^{\prime}},
che la media di \mathbf{Uu^{\prime}} è nulla,

e che, come esposto nell'articolo riguardo le caratteristiche della turbolenza \overline{\mathbf{u}^{\prime}\mathbf{u}^{\prime}}\neq 0 o in componenti \overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}\neq 0

si ottiene l'equazione per il campo di velocità (Navier-Stokes) mediata

n\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t} +n\mathbf{\nabla}\left(\mathbf{UU}\right) + \mathbf{\nabla}\left(\overline{\mathbf{u^{\prime}u^{\prime}}}\right) = -\frac{1}{n}\mathbf{\nabla }P + \nu\mathbf{\nabla}^{2}\mathbf{U}

Se non fosse per il termine fluttuante

\mathbf{\nabla}\left(\overline{\mathbf{u^{\prime}u^{\prime}}}\right)

l'equazione per u sarebbe la stessa per U.

L'equazione di continuità invece non viene alterata dal procedimento delle medie di Reynolds.

L'equazione dell'energia invece viene alterata, presentando in aggiunta un termine fluttuante

\mathbf{\nabla}\left(\overline{e^{\prime}\mathbf{u}^{\prime}}\right)

 

 


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Viscosità Turbolenta (eddy viscosity) e Diffusività Termica Turbolenta

Da quanto visto nella discussione sulle RANS nelle equazioni della fluidodinamica escono fuori dei nuovi termini, in particolare

\mathbf{\nabla}\left(\overline{\mathbf{u^{\prime}u^{\prime}}}\right) \longrightarrow nell'equazione del campo delle velocità

\mathbf{\nabla}\left(\overline{e^{\prime}\mathbf{u}^{\prime}}\right) \longrightarrow nell'equazione dell'energia.

Il termine fluttuante dell'equazione di Navier-Stokes si può pensare come un termine aggiuntivo per il tensore di stress viscoso S_{ij};quest'ultimo in assenza di turbolenza ha la classica forma (per un fluido incomprimibile)

S_{ij} = \mu\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right)
 
mentre in presenza di effetti turbolenti

S_{ij} = \mu\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right) - n\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}

Di qui si definisce la grandezza introdotta da Boussinesq chiamata viscosità turbolenta, meglio nota col termine eddy viscosity

\varepsilon_{m} = -\frac{\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}}{\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}


Allo stesso modo per l'equazione dell'energia si può definire la diffusività termica turbolenta \varepsilon_{h}.

L'aggiunta di questi nuovi termini nelle equazioni della fluidodinamica accresce il problema della chiusura per esse, ossia quel problema che sorge quando il numero di equazioni di un sistema è inferiore al numero delle incognite. E' ovvio che in questi casi bisogna fare delle assunzioni; in particolare nella fluidodinamica ci sono dei modelli opportuni per trattare i flussi turbolenti. I principali modelli possono essere classificati essenzialmente in

Modelli algebrici o a zero equazioni;

Modelli ad una equazione;

Modelli a due equazioni.

Nei modelli algebrici le assunzioni che vengono fatte non comportano ulteriori equazioni da risolvere, motivo per cui tali modelli sono anche detti a zero equazioni. I modelli ad una equazione invece prevedono una nuova equazione aggiuntiva da risolvere mentre i problemi a due equazioni ne prevedono per l'appunto due aggiuntive.
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Modelli Algebrici e Mixing Length

I modelli algebrici o a zero equazioni hanno un campo di applicabilità abbastanza limitato; essi sono applicabili a problemi dello strato limite (boundary layer). In questo caso viene risolta l'equazione di continuità e del campo di velocità assumendo che

-\overline{u^{\prime}_{x}u^{\prime}_{y}} = \varepsilon_{m}\frac{\partial u_{x}}{\partial y}

possa essere scritta in termini di lunghezza di mescolamento \ell definita da

-\overline{u^{\prime}_{x}u^{\prime}_{y}} = \ell^{2}\left(\frac{\partial u_{x}}{\partial y}\right)^{2}

in una forma algebrica chiusa. Ad esempio secondo l'ipotesi di Prandtl

\ell = ky

che sostituita all'equazione differenziale, dopo averla risolta ci dà un'equazione algebrica dipendente da y. k è la costante di Kàrmàn e vale

k = 0.4
 


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