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Ka and Broadband Communications Conference

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Equazioni del Moto

Il punto di partenza per la derivazione delle equazioni dell’idrodinamica sono le leggi di conservazione: iniziamo dall’equazione di continuità che deriva dalla conservazione della massa del fluido. E'  da premettere che per punto nel fluido si intende un elemento di fluido e non una sua singola molecola; infatti dal momento che la dinamica dei fluidi riguarda fenomeni macroscopici, ogni elemento infinitesimo di volume, seppur piccolo, contiene un grande numero di molecole. Consideriamo un elemento di fluido nel volume totale del fluido che si considera; la massa entrante in questo elemento nell'unità di tempo sarà pari alla massa entrante nell'elemento stesso. Formalizzando queste considerazioni e applicando alcuni teoremi di analisi vettoriale si arriva all'equazione di continuità

\partial_{t}n + div(n\mathbf{u}) = 0

che in coordinate cartesiane diventa

 \partial_{t}n + \partial_{\alpha}(nu_{\alpha}) = 0

 L'equazione per il campo di velocità nel caso più semplice riguardante un fluido non soggetto ad effetti dissipativi, ossia un fluido ideale, è

  \partial_{t}(nu_{\alpha}) = -\partial_{\beta}T_{\alpha\beta}

  detta equazione di Eulero, e il tensore a secondo membro è il tensoe di Cauchy, di secondo rango e simmetrico, con

 T_{\alpha\beta} = p\delta_{\alpha\beta} + nu_{\alpha}u_{\beta}

In alcuni casi non si può trascurare la viscosità e gli effetti indotti da questa,primo tra tutti il trasferimento irreversibile d’impulso tra diversi punti del fluido. In questo caso siamo in presenza di un fluido viscoso e l'equazione di Eulero va modificata prendendo in considerazione termini che rappresentano il contributo dovuto alla viscosità. Tali termini aggiuntivi sono contenuti in un altro tensore di secondo rango simmetrico Sαβ che va sottratto al tensore Tαβ ; esso è denominato tensore di stress viscoso ed ha la seguente espressione

 S_{\alpha\beta} = \eta \left(\partial_{\alpha}u_{\beta} + \partial_{\beta}u_{\alpha} - \frac{2\delta_{\alpha\beta}}{d}\partial_{\gamma}u_{\gamma}\right) + \zeta\delta_{\alpha\beta}\partial_{\gamma}u_{\gamma}

dove d rappresenta la dimensionalità del sistema, \eta la viscosità dinamica e \zeta la viscosità di bulk. Di conseguenza nell'equazione di Eulero il tensore Tαβ viene sostituito da

T_{\alpha\beta}\rightarrow T^{\prime}_{\alpha\beta} = T_{\alpha\beta} - S_{\alpha\beta}

per cui si avrà

 \partial_{t}(nu_{\alpha}) = -\partial_{\beta}T^{\prime}_{\alpha\beta}.

 Dopo alcuni passaggi algebrici si arriva all'equazione di Navier-Stokes

 \partial_{t}(nu_{\alpha}) + \partial_{\alpha}(nu_{\alpha}u_{\beta}) = -\partial_{\alpha}p + \partial_{\alpha}\left[ \eta (\partial_{\alpha}u_{\beta} + \partial_{\beta}u_{\alpha} - \frac{2\delta_{\alpha\beta}}{d}\partial_{\gamma}u_{\gamma}) + \zeta\delta_{\alpha\beta}\partial_{\gamma}u_{\gamma} \right]

Se il fluido non è omogeneo, come capita nel caso di fluidi multifase o nel caso di miscele, è opportuno considerare il contributo dei gradienti di concentrazione. In questo caso, infatti, la pressione del sistema non sarà uniforme in tutte le zone del fluido o della miscela, per cui ci sarà una dipendenza della pressione dalla concentrazione e dai gradienti della concentrazione. Di conseguenza il termine p va rimpiazzato con in cosidetto tensore di pressione

p\delta_{\alpha\beta}\rightarrow P_{\alpha\beta}

e l'equazione di Navier-Stokes diventa

\partial_{t}(nu_{\alpha}) + \partial_{\alpha}(nu_{\alpha}u_{\beta}) = -\partial_{\alpha}P_{\alpha\beta} + \partial_{\alpha}\left[ \eta (\partial_{\alpha}u_{\beta} + \partial_{\beta}u_{\alpha} - \frac{2\delta_{\alpha\beta}}{d}\partial_{\gamma}u_{\gamma}) + \zeta\delta_{\alpha\beta}\partial_{\gamma}u_{\gamma} \right]

Quando nel fluido la densità si mantiene costante in ogni porzione di volume (anche durante il loro moto) esso non è soggetto a compressioni o espansioni apprezzabili. Sotto queste condizioni il fluido si dice incomprimibile e vale la condizione ∂αuα = 0; di conseguenza l’equazione di Navier-Stokes si semplifica nella seguente espressione

\partial_{t}u_{\alpha} + u_{\beta}\partial_{\beta}u_{\alpha} = -\frac{1}{n}\partial_{\alpha}P_{\alpha\beta} + \nu\nabla^{2}u_{\alpha}

dove \nu = \frac{\eta}{n} è la viscosità cinematica.

A queste equazioni si aggiunge l'equazione di convezione-diffusione che descrive, per l'appunto, i meccanismi di diffusione e convezione nel fluido nel caso in cui la composizione del fluido varia in ogni punto, come avviene ad esempio nel caso di una miscela

\partial_{t}\varphi + \partial_{\alpha}\left( \varphi u_{\alpha} \right) = D\nabla^{2}\mu

dove D è la costante di diffusione, \mu il potenziale chimico, \varphi la concentrazione.

C'è infine l'equazione dell'energia, con la quale si tiene conto delle variazioni flusso di calore indotto da differenze di temperatura nel fluido

\partial_{t}e = -\partial_{\alpha}(eu_{\alpha}) - T^{\prime}_{\alpha\beta}\partial_{\alpha}u_{\beta} - \partial_{\alpha}J_{\alpha}^{q}  

dove e è la dendità di energia interna totale, J^{q} la corrente di calore. Le grandezze termodinamiche P_{\alpha\beta}, \mu , \varphi , e, etc. possono essere ricavate da un'energia libera (per approfondimenti si veda il libro di S. R. De Groot and P. Mazur).

 

Classificazione

  • Fluido incomprimibile non viscoso e flusso potenziale
  • Fluido incomprimibile viscoso: laminar, turbolento
  • Strato limite incomprimibile: laminare, turbolento, separazione
  • Fluido comprimibile: non viscoso, viscoso
  • Strato limite comprimibile
  • Fluidi complessi

I Fluidi complessi sono un caso particolare di fluidi che hanno una struttura visco elastica e/o una orientazione caratterizzata dall'elicità. Casi di fluidi complessi sono i cristalli liquidi e le soluzioni polimeriche. In questi casi la struttura delle equazioni cambia: basti pensare alla concentrazione di essi che non è più rappresentata da una grandezza scalare bensì da una grandezza tensoriale.

 


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Similarità e numeri adimensionali.

Spesso è conveniente riportare le equazioni fluidodinamiche in forma adimensionale; questo aiuta a studiare al meglio i regimi in cui si trova il sistema e ad adottare delle semplificazioni nelle equazioni, soprattutto per ridurre gli sforzi computazional. Tale approccio tiene conto dei parametri del sistema (fluido, corpo in un fluido, etc..) raggruppandoli in gruppi adimensionali.  E' noto infatti che due fluidi sono dinamicalmente simili se i numeri adimensionali che li governano hanno lo stesso valore.

Rimandando ad un testo di fluidodinamica (come il Landau) per i calcoli,si definiscono di seguito i numeri adimensionali più importanti.

Numero di Reynolds → Re = \frac{Ud}{\nu}

Re rappresenta il rapporto tra le forze inerziali e quelle viscose. in particolare si ha che

Re ≤ 2000 → Regime Stazionario, flusso laminare;

2000 ≤ Re ≤ 4000 → Regime di transizione

Re ≥ 4000 → Regime non stazionario e disordinato. Evoluzione verso un regime turbolento (Re > 10000) in cui le forze viscose sono trascurabili

 

Numero di Mach → Ma = \frac{U}{c_{s}}

E' dato dal rapporto tra velocità del fluido e la velocità del suono. Esso fornisce una misura della comprimibilità dovuta al moto. Si ha che

Ma < 0.1 → Regime Subsonico

0.8 < Ma <  1.3 → Regime Transonico

Ma = 1 → Regime Sonico

Ma > 1 → Regime Supersonico

Ma > 5 → Regime Ipersonico

Numero di Prandtl → Pr = \frac{\eta c_{p}}{\lambda}

Misura l'incidenza della diffusività dovuta alla quantità di moto rispetto alla diffusività dovuta al calore.

Numero di Schmidt → Sc = \frac{\nu}{D} =\frac{\eta}{nD}

Utilizzato nel caso in cui nel fluido vi siano fenomeni diffusivi, è dato dal rapporto tra forza viscosa e forza diffusiva. Esso misura quindi quanto incide il regime diffusivo rispetto a quello visoso.

Numero di Froude → Fr = \frac{U}{(gL)^{1/2}}

Dato dal rapporto tra forza d'inerzia e forza peso, spesso utilizzato nello studio del moto delle onde generato da imbarcazioni. Valori molto piccoli di Fr indicano che la gravità mantiene la superficie dell'acqua piatta e la resistenza al moto dovuta alle onde generate è trascurabile.


Tramite un'analisi sui valori assunti da questi numeri adimensionali si può inquadrare il particolare problema, il regime fluidodinamico e la natura del sistema, potendo così apportare delle semplificazioni alle equaioni del moto.


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