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Ka and Broadband Communications Conference
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Equazioni del Moto

Il punto di partenza per la derivazione delle equazioni dell’idrodinamica sono le leggi di conservazione: iniziamo dall’equazione di continuità che deriva dalla conservazione della massa del fluido. E'  da premettere che per punto nel fluido si intende un elemento di fluido e non una sua singola molecola; infatti dal momento che la dinamica dei fluidi riguarda fenomeni macroscopici, ogni elemento infinitesimo di volume, seppur piccolo, contiene un grande numero di molecole. Consideriamo un elemento di fluido nel volume totale del fluido che si considera; la massa entrante in questo elemento nell'unità di tempo sarà pari alla massa entrante nell'elemento stesso. Formalizzando queste considerazioni e applicando alcuni teoremi di analisi vettoriale si arriva all'equazione di continuità

\partial_{t}n + div(n\mathbf{u}) = 0

che in coordinate cartesiane diventa

 \partial_{t}n + \partial_{\alpha}(nu_{\alpha}) = 0

 L'equazione per il campo di velocità nel caso più semplice riguardante un fluido non soggetto ad effetti dissipativi, ossia un fluido ideale, è

  \partial_{t}(nu_{\alpha}) = -\partial_{\beta}T_{\alpha\beta}

  detta equazione di Eulero, e il tensore a secondo membro è il tensoe di Cauchy, di secondo rango e simmetrico, con

 T_{\alpha\beta} = p\delta_{\alpha\beta} + nu_{\alpha}u_{\beta}

In alcuni casi non si può trascurare la viscosità e gli effetti indotti da questa,primo tra tutti il trasferimento irreversibile d’impulso tra diversi punti del fluido. In questo caso siamo in presenza di un fluido viscoso e l'equazione di Eulero va modificata prendendo in considerazione termini che rappresentano il contributo dovuto alla viscosità. Tali termini aggiuntivi sono contenuti in un altro tensore di secondo rango simmetrico Sαβ che va sottratto al tensore Tαβ ; esso è denominato tensore di stress viscoso ed ha la seguente espressione

 S_{\alpha\beta} = \eta \left(\partial_{\alpha}u_{\beta} + \partial_{\beta}u_{\alpha} - \frac{2\delta_{\alpha\beta}}{d}\partial_{\gamma}u_{\gamma}\right) + \zeta\delta_{\alpha\beta}\partial_{\gamma}u_{\gamma}

dove d rappresenta la dimensionalità del sistema, \eta la viscosità dinamica e \zeta la viscosità di bulk. Di conseguenza nell'equazione di Eulero il tensore Tαβ viene sostituito da

T_{\alpha\beta}\rightarrow T^{\prime}_{\alpha\beta} = T_{\alpha\beta} - S_{\alpha\beta}

per cui si avrà

 \partial_{t}(nu_{\alpha}) = -\partial_{\beta}T^{\prime}_{\alpha\beta}.

 Dopo alcuni passaggi algebrici si arriva all'equazione di Navier-Stokes

 \partial_{t}(nu_{\alpha}) + \partial_{\alpha}(nu_{\alpha}u_{\beta}) = -\partial_{\alpha}p + \partial_{\alpha}\left[ \eta (\partial_{\alpha}u_{\beta} + \partial_{\beta}u_{\alpha} - \frac{2\delta_{\alpha\beta}}{d}\partial_{\gamma}u_{\gamma}) + \zeta\delta_{\alpha\beta}\partial_{\gamma}u_{\gamma} \right]

Se il fluido non è omogeneo, come capita nel caso di fluidi multifase o nel caso di miscele, è opportuno considerare il contributo dei gradienti di concentrazione. In questo caso, infatti, la pressione del sistema non sarà uniforme in tutte le zone del fluido o della miscela, per cui ci sarà una dipendenza della pressione dalla concentrazione e dai gradienti della concentrazione. Di conseguenza il termine p va rimpiazzato con in cosidetto tensore di pressione

p\delta_{\alpha\beta}\rightarrow P_{\alpha\beta}

e l'equazione di Navier-Stokes diventa

\partial_{t}(nu_{\alpha}) + \partial_{\alpha}(nu_{\alpha}u_{\beta}) = -\partial_{\alpha}P_{\alpha\beta} + \partial_{\alpha}\left[ \eta (\partial_{\alpha}u_{\beta} + \partial_{\beta}u_{\alpha} - \frac{2\delta_{\alpha\beta}}{d}\partial_{\gamma}u_{\gamma}) + \zeta\delta_{\alpha\beta}\partial_{\gamma}u_{\gamma} \right]

Quando nel fluido la densità si mantiene costante in ogni porzione di volume (anche durante il loro moto) esso non è soggetto a compressioni o espansioni apprezzabili. Sotto queste condizioni il fluido si dice incomprimibile e vale la condizione ∂αuα = 0; di conseguenza l’equazione di Navier-Stokes si semplifica nella seguente espressione

\partial_{t}u_{\alpha} + u_{\beta}\partial_{\beta}u_{\alpha} = -\frac{1}{n}\partial_{\alpha}P_{\alpha\beta} + \nu\nabla^{2}u_{\alpha}

dove \nu = \frac{\eta}{n} è la viscosità cinematica.

A queste equazioni si aggiunge l'equazione di convezione-diffusione che descrive, per l'appunto, i meccanismi di diffusione e convezione nel fluido nel caso in cui la composizione del fluido varia in ogni punto, come avviene ad esempio nel caso di una miscela

\partial_{t}\varphi + \partial_{\alpha}\left( \varphi u_{\alpha} \right) = D\nabla^{2}\mu

dove D è la costante di diffusione, \mu il potenziale chimico, \varphi la concentrazione.

C'è infine l'equazione dell'energia, con la quale si tiene conto delle variazioni flusso di calore indotto da differenze di temperatura nel fluido

\partial_{t}e = -\partial_{\alpha}(eu_{\alpha}) - T^{\prime}_{\alpha\beta}\partial_{\alpha}u_{\beta} - \partial_{\alpha}J_{\alpha}^{q}  

dove e è la dendità di energia interna totale, J^{q} la corrente di calore. Le grandezze termodinamiche P_{\alpha\beta}, \mu , \varphi , e, etc. possono essere ricavate da un'energia libera (per approfondimenti si veda il libro di S. R. De Groot and P. Mazur).

 

Classificazione

  • Fluido incomprimibile non viscoso e flusso potenziale
  • Fluido incomprimibile viscoso: laminar, turbolento
  • Strato limite incomprimibile: laminare, turbolento, separazione
  • Fluido comprimibile: non viscoso, viscoso
  • Strato limite comprimibile
  • Fluidi complessi

I Fluidi complessi sono un caso particolare di fluidi che hanno una struttura visco elastica e/o una orientazione caratterizzata dall'elicità. Casi di fluidi complessi sono i cristalli liquidi e le soluzioni polimeriche. In questi casi la struttura delle equazioni cambia: basti pensare alla concentrazione di essi che non è più rappresentata da una grandezza scalare bensì da una grandezza tensoriale.

 


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Similarità e numeri adimensionali.

Spesso è conveniente riportare le equazioni fluidodinamiche in forma adimensionale; questo aiuta a studiare al meglio i regimi in cui si trova il sistema e ad adottare delle semplificazioni nelle equazioni, soprattutto per ridurre gli sforzi computazional. Tale approccio tiene conto dei parametri del sistema (fluido, corpo in un fluido, etc..) raggruppandoli in gruppi adimensionali.  E' noto infatti che due fluidi sono dinamicalmente simili se i numeri adimensionali che li governano hanno lo stesso valore.

Rimandando ad un testo di fluidodinamica (come il Landau) per i calcoli,si definiscono di seguito i numeri adimensionali più importanti.

Numero di Reynolds → Re = \frac{Ud}{\nu}

Re rappresenta il rapporto tra le forze inerziali e quelle viscose. in particolare si ha che

Re ≤ 2000 → Regime Stazionario, flusso laminare;

2000 ≤ Re ≤ 4000 → Regime di transizione

Re ≥ 4000 → Regime non stazionario e disordinato. Evoluzione verso un regime turbolento (Re > 10000) in cui le forze viscose sono trascurabili

 

Numero di Mach → Ma = \frac{U}{c_{s}}

E' dato dal rapporto tra velocità del fluido e la velocità del suono. Esso fornisce una misura della comprimibilità dovuta al moto. Si ha che

Ma < 0.1 → Regime Subsonico

0.8 < Ma <  1.3 → Regime Transonico

Ma = 1 → Regime Sonico

Ma > 1 → Regime Supersonico

Ma > 5 → Regime Ipersonico

Numero di Prandtl → Pr = \frac{\eta c_{p}}{\lambda}

Misura l'incidenza della diffusività dovuta alla quantità di moto rispetto alla diffusività dovuta al calore.

Numero di Schmidt → Sc = \frac{\nu}{D} =\frac{\eta}{nD}

Utilizzato nel caso in cui nel fluido vi siano fenomeni diffusivi, è dato dal rapporto tra forza viscosa e forza diffusiva. Esso misura quindi quanto incide il regime diffusivo rispetto a quello visoso.

Numero di Froude → Fr = \frac{U}{(gL)^{1/2}}

Dato dal rapporto tra forza d'inerzia e forza peso, spesso utilizzato nello studio del moto delle onde generato da imbarcazioni. Valori molto piccoli di Fr indicano che la gravità mantiene la superficie dell'acqua piatta e la resistenza al moto dovuta alle onde generate è trascurabile.


Tramite un'analisi sui valori assunti da questi numeri adimensionali si può inquadrare il particolare problema, il regime fluidodinamico e la natura del sistema, potendo così apportare delle semplificazioni alle equaioni del moto.


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Turbolenza

I fenomeni turbolenti, tra i quali quelli fluidodinamici, hanno la peculiarità di essere dei sistemi dinamici non lineari, caotici la cui natura risiede in alcuni termini delle quazioni che li governano; essi in oltre, dipendono fortemente dalle condizioniiniziali: uo stesso esperimento, quindi, può essere rispodotto più volte ottenendo situazioni finali differenti le une dalle altre. La natura di questa non linearità risiede in alcuni termini delle equazioni che governano un sistema: in fluidodinamica, infatti, il campo di velocità può assumere una dipendenza dal tensore di stress viscoso; la viscosità, inoltre può dipendere dalla temperatura del sistema la quale può variare al variare dell'energia. La natura fisica della turbolenza può essere compresatramite uno studio che prende in considerazione differenti scale di lunghezza, tempo ed energia, come dimostra la teoria di Kolmogorow ed i suoii sviluppi.

Un'analisi in serie di Fourier mette in evidenza tre regimi fluidodinamici diversi: uno in cui prevalgono gli effetti viscosi che inibiscono trasferimenti di energia da strutture del sistema grandi a quelle più piccole (inibendo gli effetti turbolenti); in un altro prevalgono gli effetti inerzialiin cui l'energia viene trasferita dlle grandi strutture del sistema a quelle più piccole generando turbolenza. C'è infine la situazione intermedia.

Lo stesso fu osservato da Reynolds in modo sperimentale, il quale introdusse un coefficente che prese il suo nome, tramite il valore del quale caratterizzòi tre regimi.

Tipi di turbolenza

La turbolenza può essere:

  • Isotropa, quando le grandezze sono invarianti per cambio di sistema di riferimento;
  • Omogenea, quando le grandezze non variano nello spazio;
  • Omogenea e isotropa, quano si verificano le precdenti;
  • Libera;
  • Di parete, quando si presenta in prossimità di una parete.

Da tutte le considerazioni fatte è facile dedurre che le equazioni di sistemi turbolenti possono essere risolte numericamentetramite.

Un approccio è rappresentato dall risoluzione diretta delle equazioni di Navier-Stokes, noto in letteratura come DNS (Direct Numerical Simulation), integrazione che permetterebbe di ottenere soluzioni molto dettagliate ma che richiederebbe ''costi'' computazionalielevatissimi (tempi di simulazione, memoria ram, ecc..) dal momento che l'evoluzione delle grandezze fluidodinamiche dovrebbe avvenire su griglie computazionali con un elevato numero di nodi. L'uso della DNS è quindi limitato al caso di numeri di Reynolds moderati, in modo tale da dover utilizzare geometrie semplici e quindi griglie poco fitte.

Il metodo più diffuso è il cosidetto RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) : in esso si considerano medie temporali sulle velocità, quindi i loro valori medi ai quali vanno aggiunti termini di fluttuazione. Se  \mathbf{u}({\mathbf{x},t}) è la velocità macroscopica del fluido, \mathbf{u}^{\prime} il termine di fluttuazione, U la sua media, si pone

\mathbf{u}({\mathbf{x},t}) = U + \mathbf{u}^{\prime};

sostituendo queetsa espressione nelle equazioni di Navier-Stokes e mediando, si ottiene un'equazione che differisce nella forma da quella originale per un termine aggiuntivo che rappresenta gli effetti della turbolenza. Lo stesso vale per l'equazione dell'energia. Senza entrare nei dettagli, i termini turboleni che escono fuori sono la viscosità turbolenta e la diffusività termica turbolenta, che sono alla base della non chiusura delle equazioni del moto.

Un altro approccio standard è rappresentato dal LES (Laerge Eddy Simulation), che risolve le equazioni del moto nelle scale di lunghezza e tempo dei grandi vortici, mentre per le scale più piccole vengono utilizzati modelli basati sulla viscosità turbolenta. In aggiunta vengono utilizzate procedure di filtro per separare grandi e piccole scale.

Esiste un approccio ibrido, che integra sia il LES che il RANS: esso è il DES (Detached Eddy Simulation), in cui viene utilizzata una procedura RANS per flussi vicino le pareti e una procedura LES lontano dalle pareti.

Modelli

I principali modelli di turbolenza sono classificabili come segue:

 Modelli Algebrici  Modelli ad una equazione Modelli  due equazioni
Modelli \overline{u^{2}} - f e \zeta - f
Modelo Baldwin-LomaxModello di Prandtl
 Modello \kappa - \varepsilon
 Modello \overline{u^{2}} - f
 Modello Johnson-King
Modello Baldwin-Barth
Modello \kappa - \omega
Modello \zeta - f
 Modello Cebeci-Smith
Modello Spalart-Allmaras
  


Come si vedrà nei prossimi articoli, l'approccio RANS fa emergere nuove nuove incognite e con la conseguenza del problema della chiusura: ci si ritrova infatti con un numero di incognite superiore al numero di equazioni del sistema in esame.

La soluzione di tale sistema viene effettuata facendo alcune assunzioni. Nei modelli algebrici le assunzioni che vengono fatte non comportano ulteriori equazioni da risolvere, motivo per cui tali modelli sono anche detti a zero equazioni. I modelli ad una equazione invece prevedono una nuova equazione aggiuntiva da risolvere mentre i problemi a due equazioni ne prevedono per l'appunto due aggiuntive.

 


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