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Ka and Broadband Communications Conference

Gli studi sui modelli matematici per i mercati finanziari fanno largo usi di strumenti matematici utilizzati in Fisica per lo studio dei fenomeni naturali. Un esempio è la Meccanica statistica: le analogie tra i sistemi fisici studiati con la meccanica statistica ed i sistemi rappresentativi dei mercati finanziari hanno indotto la comunità scientifica ad utilizzare tali strumenti per creare dei modelli attendibili. Di qui il nome Econofisica.

In questa sezione vengono presentati alcuni argomenti di econofisica, estratti da un lavoro che rappresenta un progetto di divulgazione che in futuro potrà essere pubblicato.Gli argomenti sono posti in maniera sequenziale: si parte dall 'introduzione alla probabilità seguendo un percorso che conduce agli ultimi argomenti postati.

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Equazione di Black-Scholes

 
Disponendo di tutti gli strumenti matematici opportuni possiamo derivare l'equazione classica di Black-Scholes. La situazione classica è la seguente: calcolarci una legge di evoluzione per uno strumento derivato il cui valore dipenda da dal prezzo di un titolo azionario S(t) e dal tempo t.
Prima di tutto bisogna fare delle assunzioni:

- il prezzo di un'azione S(t) che segue la legge del moto Browniano geometrico;
- denotiamo con O(S(t),t) il prezzo di una opzione o di un altro strumento derivato il cui valore dipenda da dal prezzo S(t) e dal tempo t;
- il mercato è ideale, ossia non vi sono costi di transazione, tasse e altre restrizioni dovute alla vendita;
- in un certo intervallo di tempo in cui c'è variazione, non deve esserci rischio;
- durante l'esistenza dell'opzione non deve esserci distribuzione di dividendi.

Possiamo allora utilizzare il lemma di Ito per O(S(t),t), ottenendo

\left[\eta S\frac{\partial O}{\partial S} + \frac{\partial O}{\partial t} + \frac{\sigma^{2}}{2}S^{2}\frac{\partial^{2}O}{\partial S^{2}}\right]dt + \sigma\frac{\partial O}{\partial S}dW(t).

A questo punto possiamo costruire un Portfolio che elimini il termine stocastico (che rappresenta le fluttuazioni) , ossia un portfolio costituito da un'opzione cosidetta short - O e da titoli azionari acquistati \frac{\partial O}{\partial S}S cosicchè il valore dl portfolio sarà

Pf = -O + \frac{\partial O}{\partial S}S

la cui variazione in un tempo continuo dt sarà

dPf = -dO + \frac{\partial O}{\partial S}dS.

Inoltre, considerando il mercato privo di arbitraggi, il guadagno derivante dal portfolio investito in un asset senza rischio sarà dPf = rPfdt.
Combinando insieme le equazioni precedenti si arriva, dopo le opportune semplificazioni, alla formula di Black-Scholes

\frac{\partial O}{\partial t} + rS\frac{\partial O}{\partial S} + \frac{\sigma^{2}}{2}S^{2}\frac{\partial^{2}O}{\partial S^{2}} = rO

che è un'equazione differenziale alle derivate parziali. La sua forma è la stessa per l'equazione del calore (derivabile dall'equazione di Fokker-Plank) in una delle sue varianti, che descrive un processo di diffusione. Data la natura matematica tale equazione è risolvibile analiticamente solo in casi del tutto particolari; in casi contrari si risolve numericamente mediante algoritmi computazionali come il metodo di Monte Carlo o applicando opportuni schemi numerici come ad esempio il metodo alle differenze finite, tecnica basilare utilizzata in fluidodinamica computazionale atta a discretizzare equazioni come quella di Black-Scholes in modo tale da poterla implementare con un linguaggio di programmazione.
Data la natura dell'equazione di Black-Scholes (equazione differenziale alle derivate parziali di tipo parabolico) è opportuno specificare le condizioni iniziali e/o al contorno: questo per identificare in modo univoco la soluzione dell'equazione. Bisogna quindi stabilire i valori iniziali delle grandezze che evolvono, ad un tempo iniziale t=t_{o} e un tempo finale t=T. E' opportuno inoltre osservare una cosa importante che evidenzia l'importanza di una soluzione numerica per il problema: dal momento che dPf = rPfdt vale per tempi brevi dt (assenza di rischio per tempi brevi) bisogna implementare una condizione che faccia variare il portfolio di copertura in modo tale da renderlo libero da rischio in ogni intervallo di tempo.

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Probabilità: Introduzione

Nei nei problemi come quelli fisici nasce spesso l'esigenza di passare da una trattazione discreta ad una continua (come vedremo nel Random Walk ).
Ricordiamo innanzitutto il concetto di funzione.
Una funzione è definita nel senso generico come segue

f: x\in A \longrightarrow y=f(x) \in B

ossia, dato un certo insieme valori che può assumere la variabile x l'applicazione di f su x genera un nuovo valore y=f(x) che appartiene all'insieme B, ovvero l'insieme dei valori che può assumere y; si dice quindi che f è una applicazione (sui valori di A) in B (che assume cioè valori contenuti in B).
In base al tipo di valori degli insiemi A e B la funzione può essere a valori discreti o continua.
Nel caso di sistemi aleatori, un evento da come risultato un valore probabile, ossia ad un evento possono corrispondere più risultati. Un esempio classico è il lancio del dado: ad un lancio (evento) possono corrispondere sei risultati (1,2,3,4,5,6) senza sapere con certezza quale di essi possa risultare. In questo caso il sistema è detto stocastico così come il processo. Ovviamente l'unica previsione che si può fare è di calcolare la probabilità con cui uno dei sei risultati può uscire; nel caso del dado, prima del lancio, la ogni numero ha probabilità di uscire, ossia è equiprobabile; ovviamente ci sono casi in cui un sistema presenta degli eventi non equiprobabili. In entrambe i casi la probabilità di un evento può essere definita come il rapporto tra il numero dei casi favorevoli (ossia del numero di casi in cui si verifica un evento ) e il numero di casi possibili

P(Evento) = \frac{casi\mbox{ }favorevoli}{casi\mbox{ }possibili}.

Nel caso di eventi equiprobabili vi è un caso favorevole, e sei casi possibili: infatti la probabilità che esca il valore 1 (un caso caso favorevole) è P(1) = \frac{1}{6}; lo steso vale per la probabilità che escano gli altri numeri. Stesso vale nel lancio di una moneta.
Un caso non equiprobabile può essere il seguente: in una cesta vi sono 1000 palline di tre colori diversi e ne peschiamo 10, di cui 5 verdi, due rosse, tre azzurre. Le probabilità sono le seguenti

P(verde) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \mbox{, } P(rosso) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \mbox{, } P(azzurro) = \frac{3}{10};

è ovvio che in questo caso le probabilità variano al variare den numero di palline che peschiamo ed è chiaro come questa definizione risulta grossolana e non dà una stima corretta della probabilità di un evento.
L'esigenza di dare una definizione rigorosa di probabilità ha portato a definirla  come segue

P: E\in \Omega \longrightarrow P(E)\in \mathbf{R}

ossia è una funzione che associa ad un evento E appartenente all'insieme \Omega, detto spazio degli eventi, un numero reale. Tale funzione deve soddisfare delle proprietà:

P(E)\geq 0
ossia la probabilità non può avere un valore negativo, al massimo è nulla
  
P(\Omega) = 1è certo che si verifichi uno uno degli eventi; prbobabilità uno vuol dire certezza
  
P(E_{1}\cup E_{2}) = P(E_{1}) + P(E_{2})
ossia la funzione P è additiva: la probabilità che si verifichino due eventi contemporaneamente è uguale alla somma delle singole probabilità. Questo se E_{1} e E_{2} sono incompatibili

Da queste definizioni si evince che

La somma delle probabilità dei singoli eventi di \Omega è uguale ad 1 
P(\Omega) = 1
  
Se P(E) è la probabilità che si verifichi E allora 1 - P(E) è la probabilità che non si verifica E \bar{P(E)} = 1 - P(E)
 


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Probabilità Bernulliana


In molti casi può capitare di dover calcolare la probabilità di un evento con la condizione che l'evento stesso possa ripetesi. Per meglio chiarire il concetto possiamo immaginare due casi opposti: il lancio del dado e il gioco della tombola. Nella tombola si pesca un numero dal sacco senza che venga rimesso dentro: inizialmente tutti i numeri hanno probabilità \frac{1}{90} di uscire; successivamente all'uscita del primo numero ne rimangono 89 da pescare.
Nel lancio del dado, se nel primo lancio esce il numero 1, nel secondo può nuovamente uscire il valore 1: il numero 1 quindi può ripetersi in ogni lancio. Questo è un caso di prove indipendenti, nel senso appena spiegato, la cui funzione di probabilità, detta Bernoulliana, è

P_{k} = \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right)p^{k}q^{n-k}

dove

n = numero di prove;

n = numero di successi;

p = probabilità dei successi k;

q = 1 - p probabilità che non si abbiano i successi k;

il termine tra parentesi è detto binomio di Newton e vale

\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right) = \frac{n!}{k!(n - k)! }

Possiamo chiarire il significato di questa espressione con un esempio. Effettuiamo il lancio del dado per 4 volte e vogliamo calcolarci la probabilità che esca la faccia con il numero 2.
In questo caso il valore di n è rappresentato dal numero di prove, ossia il numero di lanci: n=4; su quattro lanci il numero 2 può uscire 0, 1, 2, 3 o 4 volte per cui k, che rappresenta i successi, può assumere i valori appena scritti.
La probabilità che si abbia un successo quindi è 1/6 mentre la probabilità che non si abbia successo (che non esca il numero 2) è q=1-p = 1 - 1/6 = 5/6.

Quindi la probabilità di avere 0 successi ( che il 2 esca zero volte) è (Si ricorda che 0! = 1. Inoltre ogni numero elevato a zero vale 1)

P(k=1) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ \end{array} \right)\left(\frac{1}{6}\right)^{0}\left(\frac{5}{6}\right)^{4-0} = \frac{4\times 3\times 2\times 1}{1\times (4\times 3 \times 2\times 1)}1\times \left(\frac{5}{6}\right)^{4};

La probabilità di avere 2 successi è invece

P(k=2) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ \end{array} \right)\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{4-2} = \frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times1 \times (2\times 1)}\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\times\left(\frac{5}{6}\right)^{2};

e così anche per gli altri casi.

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Probabilità condizionata e teorema di Bayes


Può spesso presentarsi il caso che la probabilità che si verifichi un evento, ad esempio A, è condizionata dal verificarsi di un altro evento B. E' il caso della probabilità condizionata che si indica P(A/B). Se indichiamo con b i casi favorevoli al verificarsi di B e u sono i casi favorevoli al verificarsi di A e B contemporaneamente, allora P(A/B) = \frac{u}{b}.
Nel caso in cui il verificarsi di A sia la causa del verificarsi di una serie di eventi B_{1},B_{2},B_{3}, \ldots, può venirci in mente, a posteriori, di voler calcolare la probabilità che la causa del verificarsi di A sia dovuta ad uno degli eventi B_{i}. Il teorema di Bayes ci dice quanto vale questa probabilità (la cui forma deriva da proprietà assiomatiche della teoria delle probabilità che qui sono tralasciate):

P(H_{i}/A) = \frac{P(H_{i})\cdot P(A/H_{i})}{\sum_{i=1}^{i=n}P(H_{i})\cdot P(A/H_{i})}

Il simbolo \sum_{i=1}^{i=n} indica che bisogna sommare tutti i termini con l'indice i fino all'indice massimo i=n. Ad esempio, se gli eventi H_{i} sono tre allora n = 3 ed i avrà valori 1, 2, 3:

\sum_{i=1}^{i=n}P(H_{i})\cdot P(A/H_{i}) = P(H_{1})\cdot P(A/H_{1}) + P(H_{2})\cdot P(A/H_{2}) + P(H_{3})\cdot P(A/H_{3})

Osservazioni importanti

Supponiamo di avere un sistema dado in cui gli eventi possibili sono sei, assia con un lancio del dado possono uscire sei risultati, ognuno con probabilità di uscita 1/6. Avremo quindi che in un lancio la probabilità di successo k=1 sarà 1/6.
La probabilità che esca uno dei sei risultati è banalmente 1. Questo perchè la somma delle probabilità di successo è (per via della seconda proprietà della della definizione di funzione di probabilità)

P(tot) = 1\times \frac{1}{6} + 1\times \frac{1}{6} + 1\times \frac{1}{6} + 1\times \frac{1}{6} + 1\times \frac{1}{6} + 1\times \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1.

La probabilità di un evento, quindi, rappsesenta il peso che ha un successo k nell'insieme di tutte le probabili uscite. In generale, quindi
P(tutti\mbox{ }gli\mbox{ }eventi) = \sum_{i=1}^{i = n}k_{i}p_{i},
dove k_{i} è l'i-esimo successo e p_{i} la rispettiva probabilità di riuscita.

Di conseguenza la probabilità che in un lancio del dado esca un numero inferiore a 4 è

P(esce\mbox{ }un\mbox{ }numero\mbox{ inferiore a 4}) = 1\times \frac{1}{6} + 1\times \frac{1}{6} + 1\times\frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

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