• Full Screen
  • Wide Screen
  • Narrow Screen
  • Increase font size
  • Default font size
  • Decrease font size
Ka and Broadband Communications Conference

Modelli Mesoscopici

Stampa

Dissipative Particle Dynamics

 

L’algoritmo DPD (Dissipative particle dynamics)[9, 10] fa uso di un approccio mesoscopico in cui il sistema viene fatto evolvere nello spazio continuo ad intervalli temporali discreti. Nel DPD vengono catturati gli aspetti migliori della MD e dell’algoritmo LGA(Lattice Gas Automata): in questo modo si risolvono i problemi della MD a livello di efficienta e di tempi di simulazione. Nel DPD si considera il moto delle particelle massive per le quali massa e impulso sono conservati. L’evoluzione per ogni passo temporale si suddivide in due fasi:

• nella prima fase viene implementata l’interazione con le altre particelle che di conseguenza si riflette in una variazione d’impulso
\triangle p_{i} = \sum_{j\neq i} \Omega _{ij}e_{ij}

­dove eij è un vettore unitario che congiunge la particella j con la particella i, mentre ­\Omega _{ij} è uno scalare che rapresenta l’interazione tra le particelle, e fornisce informazioni sul trasferimento d’impulso tra la particella i e la particella j.


• La seconda fase rappresenta la propagazione e consiste nell’aggiornamento delle posizioni delle particelle

\triangle r_{i} = \frac{\triangle t}{m}\left(\mathbf{p}_{i} + \triangle p_{i}\right)

La forma di \Omega _{ij},  al fine di garantire il teorema di fluttuazione-dissipazione, è

\Omega _{ij} = 3\frac{1 - \frac{r_{ij}}{r_{c}}}{\pi r^{2}_{c}n}\left[\Pi_{ij} - 2\varpi\left(1 - \frac{r_{ij}}{r_{c}}\right)\left(\mathbf{p}_{i} - \mathbf{p}_{j}\right)\cdot\mathbf{e}_{ij}\right] \mbox{ se } r_{ij}
 
\Omega _{ij} = 0 \mbox{ se } r_{ij}\geq r_{c}..

r_{c} è il raggio di soglia, oltre il quale non avviene trasferimento d’impulso; la sua presenza assicura che l’interazione (quindi il trasferimento d’impulso) sia locale. Il fattore n è la densità del sistema. La scelta della forma di ­\Omega _{ij} rappresenta il punto fondamentale dello sviluppo dell’algoritmo in quanto essa garantisce uno stato di equilibrio ben definito. Si osserva che ­\Omega _{ij} è uno scalare simmetrico \Omega _{ij} = \Omega _{ji}, dal momento che si vuol garantire invarianza per traslazioni e rotazioni del sistema quindi conservazione di impulso e momento angolare): infatti il prodotto scalare nel secondo membro della prima equazione di \Omega _{ij} è simmetrico e deve valere anche \Pi_{ij}. In questo modo il modello è isotropico ed è assicurata l’invarianza galileiana. \Pi_{ij} è una componente stocastica dell’impulso: esso rappresenta la componente casuale dell’impulso trasferito dovuto alle collisioni casuali tra le particelle e che da luogo alla pressione nel fluido. Tramite \Pi_{ij} è inoltre possibile controllare la temperatura del sistema, dal momento che la sua varianza misura le fluttuazioni termiche nel sistema. Esso è rappresentato da una distribuzione casuale uniforme per la quale media e varianza assumono lo stesso valore \Pi_{0}. Il secondo termine nelle parentesi quadre nel secondo membro della prima equazione per \Omega _{ij}

presenza di viscosità nel fluido. Il termine stocastico, quindi, tende a riscaldare il sistema, mentre il secondo termine tende a rilassare ogni moto relativo.
La coazione di questi due termini si esplica come un termostato: quando il sistema si surriscalda, il termine dissipativo tende a dominare al fine di raffreddare il sistema; quando invece si raffredda eccessivamente `e il termine stocastico che tende a dominare, in modo tale da riscaldarlo e ripristinare quindi la sua temperatura. Nel caso in cui il sistema `e una miscela binaria immiscibile l’algoritmo DPD va modificato, introducendo una nuova variabile detta colore che pu`o assumere due possibili valori: ad esempio ’rosso’ per una fase e ’blu’ per l’altra. Inoltre nel caso di particelle dello stesso colore (stessa fase) si utilizzano interazioni identiche (stessa variazione d’impulso) mentre nel caso di collisioni tra particelle di colore diverso si incrementa il valore della media e varianza di \Pi_{ij} di una quantità \Pi_{rep} incremento che ha l’effetto di creare una repulsione tra particelle di fasi differenti. \Pi rappresenta il termine di frizione ed è quindi responsabile della

L’algoritmo DPD, molto laborioso nello sviluppo analitico, è molto utile per lo studio di fluidi complessi e per simulazioni di sistemi in cui è importante considerare le interazioni idrodinamiche el moto casuale Browniano, responsabile dell’agitazione termica.

 


Stampa

Direct Simulation Monte Carlo Method

 

L’algoritmo DSMC (Direct simulation Monte Carlo) ha una natura stocastica, per cui le grandezze fisiche di interesse sono rappresentate da valori medi su porzioni di volume del sistema. L’idea di base è di dividere il volume del sistema in celle, ognuna delle quali contenente un certo numero di molecole (circa 50). N è il numero di molecole dell’intero sistema, distribuite casualmente e si assume che ogni molecola tra le N rappresenti Neff molecole effettive (presenti in ogni cella di volume). Ogni elemento i-esimo viene inizializzato con posizione ri e velocità vi è, come nel LBM, l’evoluzione viene implementata considerando due fasi: propagazione e collisione.

Nella prima, in ogni cella la posizione e la velocità di ogni particella vengono aggiornate a step temporali discreti Δt secondo la relazione continua

r_{i}^{\prime} = r_{i} + \triangle t

In questa fase le particelle vengono considerate non interagenti. Successivamente avviene la fase di collisione: viene selezionato un numero casuale di particelle da far collidere; la collisione interessa solamente particelle tra loro vicine, trascurando quelle lontane, al fine di considerare interazioni locali. Questa imposizione viene implementata facendo collidere solamente particelle appartenenti alla stessa cella, iincluse quelle che si allontanano, dal momento che la probabilità di collisione dipende dall’intensità delle velocità relative tra le varie coppie di particelle che interagiscono. A differenza degli altri algoritmi visti in questa sezione il DSMC ha natura stocastica, non risolvendo le equazioni del moto di Newton, non tiene conto delle traiettorie esatte delle particelle e segue le regole della teoria cinetica, ragion per cui è molto valido per la simulazione di sistemi come i gas diluiti.


Stampa

Metodo di collisione a più particelle

 

Il MCPD (Multi Particle Collision Dynamics) ha alla base il metodo DSMC visto in precedenza, con alcune modifiche. La differenza sostanziale è che nel MCPD vengono fatte collidere tutte le molecole e non solo quelle che si trovano in una cella. Nel MCPD si tiene conto della conservazione del numero di particelle N che compone il sistema e si impongono regole di conservazione locali per massa, impulso ed energia; l’energia cinetica delle particelle, tramite il teorema di equipartizione dell’energia, fissa la temperatura del sistema. In questo modo il metodo è in grado di riprodurre nel limite continuo, le equazioni idrodinamiche e obbedisce al teorema H. Il modello risulta molto efficiente per la simulazione dei fluidi complessi e si integra con gli algoritmi DC, ma soffre della mancanza di invarianza galileiana che pu´o essere risolta apportando alcuni accorgimenti alla geometria del sistema, rimedi che si riflettono sui coefficienti di trasporto.

 


Sei qui: