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Ka and Broadband Communications Conference
Allo scopo di risolvere i problemi di stabilità numerica viene itrodotto un nuovo termine nell'equazione di trasporto di Boltzmann discretizzata, per l'appunto un termine di forza, il cui scopo è quello di inglobare termini che sarebbero altrimenti trascurati in uno schema LBM classico. Il termine di forza può rappresentare forze di volume o gravitazionali, a seconda della natura del problema in esame e può avere diverse forme funzionali. Una panoramica sui termini di forza viene fatta nella review di Ladd & Verberg (si veda bibliografia). Nel mio lavoro di tesi (LBM ibrido per un fluido binario) sono stati studiati due tipi di termini di forza di volume che differiscono l'uno dall'altro sia per la forma che per l'incidenza che hanno nel modello. Da uno sviluppo multiscala, infatti, si evince un'altra importante differenza: uno appare al secondo ordine nel numero di Knudsen, l'altro al primo ordine, influenzando diversamente il rilassamento verso l'equilibrio delle funzioni di distribuzione.Questo risultato ha portato notevoli miglioramenti alla stabilità numerica del modello.
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Termini di Forza nell'equazione di trasporto discretizzata

Gli studi recenti rivolti al LBM si sono focalizzati anche nel ricercare soluzioni utili per ridurre fenomeni spuri e per ampliare il range di stabilità per le varie versioni del modello.
In uno di questi accorgimenti ormai adottato dalla comunità scientifica è quello di aggiungere nell'equazione di trasporto di Boltzmann discretizzata un termine di forza: la sua presenza ha l'utilità di inglobare termini spuri che si presentano nel limite continuo permettendo di riprodurre fedelmente le equazioni della fluidodinamica nel continuo. L'equazione di trasporto di Boltzmann discretizzata risulta essere quindi

f\left(\mathbf{x} + \mathbf{e}_{i}\triangle t, t + \triangle t\right) - f_{i}\left(\mathbf{x},t\right) = - \triangle t F_{i}- \triangle t \frac{f_{i} - f_{i}^{0}}{\tau_{f}}

dove risulta il termine di forza

\triangle t F_{i}

la cui forma dipende dal caso di studio: esso può rappresentare forze esterne di densità dovute alla presenza di gradienti pressione oppore la forza gravitazionale.

Una possibile forma per il termine di forza può essere

F_{i} = \frac{\mathbf{F}}{m}\partial_{\mathbf{e}_{i}}f_{i};

assumendo che localmente la funzine di distribuzione f_{i} sia prossima all'equilibrio

\partial_{\mathbf{e}_{i}}f_{i} \simeq \partial_{\mathbf{e}_{i}}f_{i}^{0}

segue che essa approssima quella all'equilibrio che, nel caso in esame, è una distribuzione di Maxwell-Boltzmann

f_{i}^{o} = n\left(\frac{m}{2\pi KT}\right)^{\frac{d}{2}}e^{-m\frac{\left(\mathbf{e}_{i} - \mathbf{u}\right)^{2}}{2KT}}

dove T è la temperatura del sistema, K è la costante di Boltzmann e d è la dimensionalità del sistema. Ponendo c^{2}=\frac{3KT}{m} ed effettuando la derivata rispetto ad \mathbf{e}_{i} della Maxwell-Boltzmann, dalla relazione \partial_{\mathbf{e}_{i}}f_{i} \simeq \partial_{\mathbf{e}_{i}}f_{i}^{0} si ottiene

\partial_{\mathbf{e}_{i}}f_{i} \simeq -\frac{3}{c^{2}}\left(\mathbf{e}_{i} - \mathbf{u}\right)f_{i}^{0}

che porta alla senguente forma dell'equazione di trasporto discretizzata

f\left(\mathbf{x} + \mathbf{e}_{i}\triangle t, t + \triangle t\right) - f_{i}\left(\mathbf{x},t\right) = - \frac{3}{c^{2}}\triangle t f_{i}^{0}\left(\mathbf{e}_{i} - \mathbf{u}\right) \cdot \frac{\mathbf{F}}{m} - \triangle t \frac{f_{i} - f_{i}^{0}}{\tau_{f}}.

L'espressione di \mathbf{F} deve essere scelta in modo tale da riprodurre nel limite continuo le equazioni di continuità e di Navier-Stokes; per problemi diffusivi in cui risultano gradienti di pressione essa risulta

\frac{\mathbf{F}}{m} = \frac{c^{2}}{n}\mathbf{\nabla}\left(-p_{c}\right) + \frac{c^{2}}{n}\kappa\varphi\mathbf{\nabla}\left(\nabla^{2}\varphi\right)

con

p_{c} = -\frac{a}{2}\varphi^{2} + \frac{3}{4}b\varphi^{4}.

Effettuando il limite continuo tramite un'espansione multiscala nel numero di Knudsen si dimostra che il termine di forza così ottenuto e di ordine due nel numero di Knudsen. Questa osservazione è molto importante in quanto scegliendo un termine di forza alternativo, come vedremo in seguito, si ottengono risultati migliori a livello di stabilità numerica.

Possiamo infatti considerare come termine per il termine di forza la seguente espressione

F_{i} = \omega_{i}\left[ A + \frac{B_{\alpha}e_{i\alpha}}{c_{s}^{2}} + \frac{C_{\alpha\beta}\left(e_{i\alpha}e_{i\beta} - c_{s}^{2}\delta_{\alpha\beta}\right)}{2c_{s}^{4}} \right]

dove per il modello D_{2}Q_{9}

\omega_{o} = 4/9,\mbox{ } \omega_{1-4}=1/9,\mbox{ } \omega_{5-8}=1/36,\mbox{ } c_{s} = c/\sqrt{3}

A, B_{\alpha}, C_{\alpha\beta}, sono funzioni di \mathbf{F} (la cui espressione è la stessa di quella data pocanzi) e le loro espressioni si esplicano effettuando il limite continuo.

Con questo nuovo termine di forza vengono implementati ulteriori vincoli

\sum_{i=0}^{8}F_{i} = A, \mbox{ } \sum_{i=0}^{8}e_{i\alpha}F_{i} = B_{\alpha}, \mbox{ }\sum_{i=0}^{8}e_{i\alpha}e_{i\beta}F_{i} = c_{s}^{2}A\delta_{\alpha\beta} + \frac{1}{2}\left[C_{\alpha\beta} + C_{\beta\alpha}\right]

e viene ridefinito il momento di ordine uno

nu_{\alpha}^{*} = \sum_{i}f_{i}e_{i\alpha} + m\Delta t F_{\alpha} \Rightarrow nu_{\alpha}^{*} = nu_{\alpha} + m\Delta t F_{\alpha}.

Dai calcoli (che qui traslasciamo) risulta

A = 0, \mathbf{B} = \left(1 - \frac{\Delta t}{2\tau}\right)\mathbf{F}, \mathbf{C} =\left(1 - \frac{\Delta t}{2\tau}\right)\mathbf{u^{*}F} - \mathbf{Fu^{*}}.

Dall'espansione multiscala il termine di forza risulta di ordine uno nel numero di Knudsen. Questa espressione per il termine di forza porta a risultati migliori nel caso di un sistema caratterizzato da un fluido binario o multifase.


 


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