Nicola Stella WebSite | Lattice Boltzmann Method

Il Lattice Boltzmann Method a due componenti viene utilizzato nella descrizione di fluidi binari, per l'appunto a due componenti. Questo sistema sarà caratterizzato da due funzioni di distribuzione $f_{i}$ e $g_{i}$ dal momento che nella miscela ci sono due densità indipendenti. In particolare, l'espansione di $f^{0}_{i}$ sarà presente un termine tensoriale $G_{\alpha\beta}$ non presente nell'espansione di $g^{0}_{i}$ ( in realtà la sua presenza è ininfluente in quanto il termine si annulla). La sua presenza assicura i contributi dei gradienti di pressione, come si può evincere dalla sua forma esplicita.

Modello 2-dim a 9 velocità isotermo: Generalità

Prendiamo ora in esame il modello descritto nel lavoro

M. Swift, E. Orlandini, W. Osborn, and J. Yeomans. Lattice Boltzmann simulations of liquid-gas and binary fluid systems. Physical Review E, 54(5):5041–5052, november 1996,

modello che nel tempo ha subito le sue modifiche atte ad apportarne moglioramenti per ciò che concerne la stabilità numerica. Tuttavia è una base per capire le peculiarità del LBM.

Dal momento che nella miscela abbiamo due densità indipendenti bisogna considerare, due funzioni di distribuzione di Boltzmann, $f_{i}$ e $g_{i}$ , da far evolvere in step temporali discreti nello spazio discretizzato. La geometria dello spazio è di tipo reticolare; in particolare si considera un reticolo quadrato costituito da nove siti e denotato $D_{2}Q_{9}$ : vengono definite nove velocitè reticolari $\left\lbrace\mathbf{e}_{i}\right\rbrace_{i=0,\cdots,8}$ che puntano su ogni sito del reticolo eccetto la velocità al centro del reticolo $\mathbf{e}_{0}$ che rappresenta lo stato di quiete. Se $\Delta x$ è lo step spaziale, ossia la distanza non diagonale tra due siti, e $\Delta t$ lo step temporale, allora $c = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ e le velocità reticolari possono essere scritte come segue

$\mathbf{e}_{0}(0,0)\mbox{, }$

$\mathbf{e}_{1}(c,0) \mbox{, } \mathbf{e}_{2}(0,c) \mbox{, } \mathbf{e}_{3}(-c,0) \mbox{, } \mathbf{e}_{4}(0,-c)\mbox{, }$

$\mathbf{e}_{5}(c,c) \mbox{, } \mathbf{e}_{6}(-c,c) \mbox{, } \mathbf{e}_{7}(-c,-c) \mbox{, } \mathbf{e}_{8}(c,-c)$

con moduli

$e_{i} = \left\lbrace \begin{array}{cc} 0 & \mbox{se } i = 0\\ c & \mbox{se }i=1,2,3,4 \mbox{ (primi vicini)}\\ 2\sqrt{c} & \mbox{se } i=5,6,7,8 \mbox{ (secondi vicini)} \end{array}\right.$

I vettori reticolari soddisfano delle relazioni tensoriali che saranno utili in seguito; esse sono:

$\begin{array}{ccccc} \sum_{i}e_{i\alpha} & = & 0 & + & 0\\ \sum_{i}e_{i\alpha}e_{i\beta} & = & 2c^{2}\delta_{\alpha\beta} & + & 4c^{2}\delta_{\alpha\beta}\\ \sum_{i}e_{i\alpha}e_{i\beta}e_{i\gamma} & = & 0 & + & 0\\ \sum_{i}e_{i\alpha}e_{i\beta}e_{i\gamma}e_{i\delta} & = & 2c^{4}\delta_{\alpha\beta\gamma\delta} & + & \left( 4c^{4}\Delta_{\alpha\beta\gamma\delta} - 8c^{4}\delta_{\alpha\beta\gamma\delta} \right)\\ \end{array}$

dove

$\Delta_{\alpha\beta\gamma\delta} = \delta_{\alpha\beta}\delta_{\gamma\delta} + \delta_{\alpha\gamma}\delta_{\beta\delta} + \delta_{\alpha\delta}\delta_{\beta\gamma};$

nelle proprietà tensoriali dei vettori reticolari vengono distinti i contributi dei primi vicini e dei secondi vicini. Si osserva che il la sommatoria dei prodotti dispari si annulla: questo dipende dall'invarianza per inversioni spaziali

$\mathbf{e}_{i} \longrightarrow -\mathbf{e}_{i}$

per via della quale si verificano la terza e la quarta proprietà tensoriale.
La discretizzazione si riflette sulle funzioni di distribuzione: anch'esse vengono discretizzate, ragion per cui su ogni sito vengono definiti due set di funzioni di distribuzione $\left\lbrace f_{i} \right\rbrace \mbox{, } \left\lbrace g_{i} \right\rbrace$ che evolvono secondo l'equazione di Boltzmann a singolo tempo di rilassamento

$f_{i}\left(\mathbf{x}+\mathbf{e}_{i}\triangle t, t + \triangle t \right) - f_{i}\left( \mathbf{x}, t \right) = - \frac{1}{\tau_{f}}(f_{i} - f_{i}^{0})$

$g_{i}\left(\mathbf{x}+\mathbf{e}_{i}\triangle t, t + \triangle t \right) - g_{i}\left( \mathbf{x}, t \right) = - \frac{1}{\tau_{g}}(g_{i} - g_{i}^{0}),$

dove $f_{i}^{0}$ e $g_{i}^{0}$ sono le funzioni di distribuzione all'equilibrio, mentre $\tau_{f}$ e $\tau_{g}$ sono i rispettivi tempi di rilassamento che, come vedremo in seguito, sono legati rispettivamente alla viscosità e alla diffusivit{/tex} del sistema.
L'approssimazione di singolo tempo di rilassamento (anche detta approssimazione BGK) nella discretizzazione dell'equazione di trasporto di Boltzmann porta ad un operatore di collisione discretizzato linearmente e quindi ad equazioni di evoluzione lineari.
Le variabili fisiche d'interesse

$n_{A}, n_{B}$ densità delle due componenti della miscela,
$n = n_{A} + n_{B} \equiv$ densità totale,
$\varphi = n_{A} - n_{B} \equiv$ Concentrazione (o parametro d'ordine),
$\mathbf{u} \equiv$ velocità media del fluido,

sono legate alle funzioni di distribuzione tramite i vincoli

$n = \sum_{i}f_{i}$ , $nu_{\alpha} = \sum_{i}f_{i}e_{i\alpha}$ , $\varphi = \sum_{i}g_{i}$

e dal momento che si assume per queste tre quantità una conservazione locale in ogni collisione

$\sum_{i}(f_{i} - f_{i}^{0}) = 0$ , $\sum_{i}(f_{i} - f_{i}^{0})e_{i\alpha} = 0$ , $\sum_{i}(g_{i} - g_{i}^{0}) = 0$

i vincoli precedenti valgono anche per le funzioni di distribuzione all'equilibrio

$n = \sum_{i}f_{i}^{0}$ , $nu_{\alpha} = \sum_{i}f_{i}^{0}e_{i\alpha}$ , $\varphi = \sum_{i}g_{i}^{0}$ .

Affinchè nel limite continuo siano riprodotte fedelmente le equazioni dell'idrodinamica è opportuno definire ulteriori vincoli, rappresentati dai momenti di secondo ordine delle $f_{i}^{0}$ e $g_{i}^{0}$ e del primo ordine di $g_{i}^{0}$

$\sum_{i}f_{i}^{0}e_{i\alpha}e_{i\beta} = P_{\alpha\beta} + nu_{\alpha}u_{\beta}$

$\sum_{i}g_{i}^{0}e_{i\alpha} = \varphi u_{\alpha}$ , $\sum_{i}g_{i}^{0}e_{i\alpha}e_{i\beta} = c^{2}\mu\Gamma\delta_{\alpha\beta} + \varphi u_{\alpha}u_{\beta}$

dove $P_{\alpha\beta}$ è il tensore di pressione, $\mu$ il potenziale chimico, $\Gamma$ è un fattore che appare nella costante di diffusione del sistema.

[Top]

Modello 2-dim a 9 velocità isotermo: Funzioni di distribuzione d'equilibrio

Dal momento che l'equazione di Navier-Stokes ha una non linearità del secondo ordine è sufficiente considerare un'espansione di $f_{i}^{0}$ e $g_{i}^{0}$ al secondo ordine nelle velocità. Supponendo inoltre che le due componenti della miscela abbiano la stessa densità e viscosità si conclude che esse rilassano istantaneamente con la stessa velocit\`{a}, quindi

$f_{i}^{0} = A^{\sigma} + B^{\sigma}e_{i\alpha}u_{\alpha} + C^{\sigma}u^{2} + D^{\sigma}\left( e_{i\alpha}u_{\alpha}\right)^{2} + G^{\sigma}_{\alpha\beta}e_{i\alpha}e_{i\beta}$

$g_{i}^{0} = H^{\sigma} + J^{\sigma}e_{i\alpha}u_{\alpha} + K^{\sigma}u^{2} + Q^{\sigma}\left( e_{i\alpha}u_{\alpha}\right)^{2}$

Nell'espansione l'indice $\sigma$ denota i coefficienti corrispondenti alle velocità di modulo $0\mbox{, }c\mbox{, }c\sqrt{2}$ ; in particolare

$\sigma = \left\lbrace \begin{array}{cc} 0 & \mbox{se } i = 0\\ 1 & \mbox{se }i=1,2,3,4 \mbox{ (primi vicini)}\\ 2 & \mbox{se } i=5,6,7,8 \mbox{ (secondi vicini)} \end{array}\right$

Imponendo la conservazione locale ed i momenti al secondo ordine per le funzioni di distribuzione di equilibrio si ottengono i coefficienti incognoti. Ad esempio, imponendo la condizione $\sum_{i}f_{i}^{0} = n$ si ottiene

$\sum_{i}\left[ A^{\sigma} + B^{\sigma}e_{i\alpha}u_{\alpha} + C^{\sigma}u^{2} + D^{\sigma}\left( e_{i\alpha}u_{\alpha}\right)^{2} + G^{\sigma}_{\alpha\beta}e_{i\alpha}e_{i\beta} \right] = n$ .

Applicando le proprietà tensoriali per i vettori reticolari, dopo aver sommato sull'indice i si ha l'annullamento dei termini in cui compaiono i coefficienti $B^{\sigma}$ ; esplicitando gli indici $\sigma$ si arriva all'espressione seguente

$\begin{array}{lll} n = \sum_{i}\left(A^{0}+A^{1}+A^{2}\right) &+& \sum_{i}\left(B^{0}e_{i\alpha}+B^{1}e_{i\alpha}+B^{2}e_{i\alpha} \right)u_{\alpha}+\\ &+& \sum_{i}\left(C^{0}+C^{1}+C^{2}\right)u^{2}+\\ &+& \sum_{i}\left[ \left(D^{0}+D^{1}+D^{2}\right)\left( e_{i\alpha}u_{\alpha}\right)^{2}\right] +\\ &+&\sum_{i}\left(G^{0}_{\alpha\beta}e_{i\alpha}e_{i\beta} + G^{1}_{\alpha\beta}e_{i\alpha}e_{i\beta} + G^{2}_{\alpha\beta}e_{i\alpha}e_{i\beta} \right)\nonumber \end{array}$ .

Procendendo allo stesso modoper l'imposizione degli altri vincoli si ottiene un sistema di otto equazioni in dodici incognite rappresentate dai coefficienti. Il sistema si risolve imponendo alcune condizioni, con i seguenti risultati

$\begin{array}{||c||c||c||c||c||} \hline A^{0} = n - 20A^{2} \mbox{ } & B^{0} = 0 \mbox{ } & C^{0} = -\frac{2n}{3c^{2}}\mbox{ } & D^{0} = 0 \mbox{ } & G^{0}_{\alpha\beta} = 0 \mbox{ }\\ \hline A^{1} = 4A^{2} \mbox{ } & B^{1} = 4B^{2} \mbox{ } & C^{1} = 4C^{2} \mbox{ } & D^{1} = 4D^{2} \mbox{ } & G^{1}_{\alpha\beta} = 4G^{2}_{\alpha\beta}\mbox{ }\\ \hline A^{2} = \frac{P_{\alpha\beta}\delta_{\alpha\beta}}{24c^{2}}\mbox{ } & B^{2} = \frac{n}{12c^{2}}\mbox{ } & C^{2} = -\frac{n}{24c^{2}} & D^{2} = \frac{n}{8c^{4}}\mbox{ } & G^{2}_{\alpha\beta} = \frac{P_{\alpha\beta} - \frac{1}{2}tr\left(P\right)\delta_{\alpha\beta}}{8c^{4}}\mbox{ }\\ \hline \end{array}$

Allo stesso modo per la funzione di distribuzione di equilibrio $g_{i}^{0}$ si ottiene

$\begin{array}{||c||c||c||c||} \hline H^{0} = \varphi - 20H^{2} \mbox{ } & J^{0} = 0 \mbox{ } & K^{0} = -\frac{2\varphi}{3c^{2}}\mbox{ } & Q^{0} = 0 \mbox{ }\\ \hline H^{1} = 4H^{2} \mbox{ } & J^{1} = 4J^{2} \mbox{ } & K^{1} = 4K^{2} \mbox{ } & Q^{1} = 4Q^{2} \mbox{ }\\ \hline ^{2} = \frac{\Gamma\mu}{12}\mbox{ } & J^{2} = \frac{\varphi}{12c^{2}}\mbox{ } & K^{2} = -\frac{\varphi}{24c^{2}} & Q^{2} = \frac{\varphi}{8c^{4}} \mbox{ }\\ \hline \end{array}$

[Top]

Modello 2-dim a 9 velocità isotermo: Limite continuo

L'algoritmo LBM risolve le equazioni dell'idrodinamica, verificando l'esistenza di un limite continuo delle equazioni di evoluzione per le funzioni di distribuzione riproducendo le equazioni di continuità, di Navier-Stokes e di convezione-diffusione.Il punto di partenza è quello di considerare uno sviluppo in serie di Taylor dei membri di sinistra delle equazioni di evoluione

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\triangle t^{k}}{k!}\left(\partial_{t} + e_{i\alpha}\partial_{\alpha} \right)^{k} f_{i} = -\frac{f_{i} - f_{i}^{0}}{\tau_{f}}$

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\triangle t^{k}}{k!}\left(\partial_{t} + e_{i\alpha}\partial_{\alpha} \right)^{k} g_{i} = -\frac{g_{i} - g_{i}^{0}}{\tau_{g}}$

procedendo quindi alla risoluzione in modo ricorsivo con il metodo delle approssimazioni successive, fermandoci ai termini del secondo ordine. Evitando l'esposizione di calcoli lunghi e laboriosi, si può affermare che le equazioni di continuità, di Navier-Stokes e di convezione-diffusione vengono riprodotte trascurando alcuni termini spuri e considerando

$\nu = c^{2}\triangle t \frac{2\tau_{f} - 1}{6} \equiv$ viscosità cinematica

$\zeta = \nu\left(2 - \frac{3}{c^{2}}\frac{dp^{bulk}}{dn}\right) \equiv$ viscosità di bulk o seconda viscosità

$D = \Gamma\left(\tau_{g}-\frac{1}{2}\right)c^{2}\triangle t \equiv$ costante di diffusione.

I termini spuri che si presentano nel limite continuo influiscono nella stabilità numerica; i modelli LBM più recenti evitano il presentarsi di tali terminiinserendo nell'equazione di evoluzione dei temini di forza.

[Top]

Modello 2-dim a 9 velocità isotermo: Generalità

Modello 2-dim a 9 velocità isotermo: Funzioni di distribuzione d'equilibrio

Modello 2-dim a 9 velocità isotermo: Limite continuo

News by PhysOrg.com