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Ka and Broadband Communications Conference

Nicola Stella WebSite | Lattice Boltzmann Method | Caratteristiche del LBM

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Equazione di trasporto di Boltzmann

L'equazione di trasporto di Boltzmann è una nota equazione del moto della teoria cinetica classica con la quale si descrivono i fenomeni di trasporto su scala mesoscopica: si considerano quindi i fenomeni su scale di grandezza piccole rispetto a quelle macroscopiche adottate nella CFD, ma piccole rispetto alle scale molecolari ( senza quindi considerare il moto di ogni singola molecola). In questo modo si ottiene una descrizione minuziosa del sistema in esame rimanendo sempre nell'ambito della meccanica classica, trascurando quindi gli effetti quantistici, come il potenziale d'interazione molecolare nelle sue diverse forme, lo spin, e tutti gli effetti quantistici che ne conseguono.

Il sistema che si considera è costituito da un numero N di molecole racchiuse in un volume V, con temperatura sufficientemente alta e densità piccola rispetto alla distanza media intermolecolare in modo tale che le molecole siano pacchetti d'onda localizzati. Tali condizioni sono verificate quandola lunghezza d'onda di de Broglie di una molecola risulta più piccola della distanza media tra le particelle

\frac{\hbar}{\sqrt{2\pi k T}}\left(\sqrt{\frac{N}{V}}\right)^{1/3} \ll 1 .

L'interazione tra le molecole è descritta da una sezione d'urto \sigma; consideriamoil caso di una specie di molecole e supponiamo che le pareti fisiche del volume V siano ideali, ossia che le molecole che urtano su di essa siano riflesse in modo elastico. Si considera quindi una funzione di distribuzione f\left(\mathbf{r},\mathbf{p},t \right) definita in modo tale che

f\left(\mathbf{r},\mathbf{p},t \right)d^{3}rd^{3}p = Numero di molecole in d^{3}r centrato in r e d^{3}p centrato in p

con \mathbf{p} quantità di moto. Di conseguenza l'informazione della presenza di N molecole nel volume V sarà espressa dalla condizione di normalizzazione

f\left(\mathbf{r},\mathbf{p},t \right)d^{3}rd^{3}p = N.

La funzione di distribuzione quindi descrive per l'appunto la distribuzione delle molecole nelle varie zone di V; se il sistema evolve all'equilibrio ci sarà una distribuzione di equilibrio f^{0} verso la quale evolverà f\left(\mathbf{r},\mathbf{p},t \right) che, tramite il teorema H di Boltzmann e, risulta essere la distrubuzione di Maxwell-Boltzmann.

L'equazione per l'evoluzione della funzione di distribuzione in presenza di una forza esterna risulta essere 

\left(\partial_{t} + \frac{\mathbf{P}}{m}\cdot\mathbf{\nabla}_{\mathbf{r}} + \mathbf{F}\cdot\mathbf{\nabla}_{\mathbf{P}}\right) f\left(\mathbf{r},\mathbf{p},t\right) = \left(\partial_{t}f\right)_{coll}

dove il termine di destra racchiude le informazioni sull'interazione tra le molecole ed è detto operatore di collisione; esso dipende quindi dalla sezione d'urto. Tralasciando calcoli complicati, si può dire che, considerando collisioni binarie tra le molecole e applicando l'assunzione del caos molecolare, si arriva ad una forma per l'operatore di collisione

\left(\partial_{t}f\right)_{coll} = \int d^{3}p_{2}d^{3}p^{\prime}_{1}d^{3}p^{\prime}_{2}\delta^{4}\left(\mathbf{P}_{f} - \mathbf{P}_{i}\right)|T_{fi}|^{2}\left(f^{\prime}_{1}f^{\prime}_{2} - f_{1}f_{2}\right)

dove gli indici 1,2 identificano la molecola 1,2 e il simbolo ' indica il valore dopo una collisione. |T_{fi}|^{2} è la matrice di transizione che in un certo senso da il peso alla transizione d'urto che si ha da uno stati iniziale ad uno stato finale; \delta^{4}\left(\mathbf{P}_{f} - \mathbf{P}_{i}\right) è la delta di Dirac.

Si arriva quindi all'equazione di trasporto di Boltzmann

\left(\partial_{t} + \frac{\mathbf{P}}{m}\cdot\mathbf{\nabla}_{\mathbf{r}} + \mathbf{F}\cdot\mathbf{\nabla}_{\mathbf{P}}\right) f\left(\mathbf{r},\mathbf{p},t\right) = \int d^{3}p_{2}d^{3}p^{\prime}_{1}d^{3}p^{\prime}_{2}\delta^{4}\left(\mathbf{P}_{f} - \mathbf{P}_{i}\right)|T_{fi}|^{2}\left(f^{\prime}_{1}f^{\prime}_{2} - f_{1}f_{2}\right).

 

 


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Carattesistiche principali del LBM

L’algoritmo LBM nel caso di un singolo fluido, secondo il modello originale descritto nel lavoro

M. Swift, E. Orlandini, W. Osborn, and J. Yeomans. Lattice Boltzmann simulations of liquid-gas and binary fluid systems. Physical Review E, 54(5):5041–5052, november 1996,

si sviluppa in alcuni punti essenziali di seguito descritti:

 • Discretizzazione dello spazio.

Viene considerata una geometria reticolare in cui sono definiti un passo paziale Δx e temporale Δt e ad ogni sito del reticolo è associato un set di funzioni di distribuzione di popolazione \{f_{i}(\mathbf{x}, t)\}; a loro volta ogni f_{i} è associata ad un vettore reticolare ei. Il numero di vettori reticolari dipende dalla geometria scelta: una delle più utilizzate è rappresentata dal reticolo quadrato idimensionale, denotata D_{2}Q_{9}, con interazione tra primi vicini e secondi vicini. Questa scelta è dettata da ragioni di stabilità numerica; una geometria triangolare, infatti, genera instabilità numerica.  I moduli dei vettori reticolari sono (nel caso D_{2}Q_{9})

e_{i} = 0                  se   i = 0

e_{i} = \frac{\Delta x}{\Delta t}=c      se   i = 1, 2, 3, 4    \mbox{(primi vicini)}

e_{i} = 2\sqrt{c}             se   i = 5, 6, 7, 8    \mbox{(secondi vicini)}

 

• Variabili dinamiche e conservazione locale

Le variabili fisiche macroscopiche importanti sono la densita n e l’impulso nu del fluido che sono legate dalle funzioni di distribuzione mediante i momenti di ordine zero e di ordine uno delle fi stesse

n = \sum_{i}f_{i}               nu_{\alpha} = \sum_{i}f_{i}e_{i\alpha}

Assumendo la conservazione locale delle fi in ogni collision

\sum_{i}\left(f_{i} - f_{i}^{0}\right) = 0               \sum_{i}\left(f_{i} - f_{i}^{0}\right)e_{i\alpha} = 0

viene garantita la conservazione locale della massa e dell’impulso

\sum_{i}f_{i}^{0} = n               \sum_{i}f_{i}^{0}e_{i\alpha} = nu_{\alpha}

Ad esse si aggiunge un vincolo rappresentato dal secondo momento delle fi:

\sum_{i}f_{i}^{0}e_{i\alpha}e_{i\beta} = P_{\alpha\beta} + nu_{\alpha}u_{\beta}

indispensabile per una descrizione corretta delle equazioni idrodinamiche nel continuo, dove Pαβ è il tensore di pressione che contiene i contributi della pressione di bulk pbulk e dei termini convettivi. Tramite esso
entrano in gioco gli aspetti termodinamici del modello. f0 rappresenta la funzione di distribuzione di equilibrio la cui scelta dipende dalla fisica del sistema che si vuol implementare con questo algoritmo di simulazione.

• Evoluzione delle fi

Prendendo in considerazione l’approssimazione a singolo tempo di rilassamento, le fi evolvono secondo l’equazione di trasporto di Boltzmann

f_{i}\left(\mathbf{x} + e_{i}\triangle t, t + \triangle t\right) - f_{i}\left(\mathbf{x},t \right) = - \frac{f_{i} - f_{i}^{o}}{\tau}

Il secondo membro dell’equazione di evoluzione delle fi rappresenta l’operatore di collisione nell’approssimazione BGK. Tale approssimazione rende lineare l’equazione di evoluzione. L’evoluzione viene effettuata in due step: nella prima consideriamo la fase di collisione, in cui le funzioni di distribuzione che arrivano su uno stesso sito evolvono secondo la seguente equazione

f_{i}^{coll}\left(\mathbf{x},t\right) = f_{i}\left(\mathbf{x},t\right) - \frac{f_{i}\left(\mathbf{x},t\right) - f_{i}^{0}\left(\mathbf{x},t\right)}{\tau}

nel secondo step si considera la propagazione delle fi che hanno colliso. Esse si propagano seguendo la seguente equazione

f_{i}\left(\mathbf{x} + \mathbf{e}_{i}\triangle t, t + \triangle t\right) = f_{i}^{coll}\left(\mathbf{x},t\right)

La simulazione viene effettuata dopo aver ricavato un’espressione per fi0. Essa viene trovata effettuando un’espansione al secondo ordine nelle velocità macroscopiche u

f_{i}^{0} = A^{\sigma} + B^{\sigma}u_{\alpha}e_{i\alpha} + C^{\sigma}\mathbf{u}^{2} + D^{\sigma}u_{\alpha}u_{\beta}e_{i\alpha}e_{i\beta}

L’espressione esplicita dei coefficienti che compaiono nell’espansione viene trovata imponendo la condizioni di conservazione, tenendo conto delle proprietà tensoriali dei vettori reticolari. L’indice \sigma indica il valore dei coefficienti a seconda che si tratti dei primi e secondi vicini nel reticolo in esame

\sigma = 0 \mbox{ se } i = 0

\sigma = 1 \mbox{ se } i = 1,2,3,4

\sigma = 1 \mbox{ se } i = 5,6,7,8

• Limite di continuità

Effettuando una espansione in serie di Taylor al secondo ordine nelle derivate del primo membro dell’equazione di trasporto di Boltzmann discreta vengono riprodotte nel continuo le equazioni di continuità e di Navier-Stokes (e di convezione-diffusione nel caso di miscele o di fluidi multifase).

Una peculiarità del modello LBM è che le proprietà termodinamiche del sistema fisico possono essere ricavate tramit un'energia libera che minimizzata rispoduce le caratteristiche del sistema nello stato di equilibrio.

Nel Caso di fluidi a più componenti o di fluidi multifase è necessario considerare i gradienti di pressione lungo l'interfaccia. Una delle soluzioni originarie è stata quella di considerare funzioni di distribuzione di popolazione da far evolvere \{g_{i}(\mathbf{x}, t)\}; anch'esse sullo stesso reticolo, ma i risultati hanno mostrato instabilità numeriche. Un approccio differente ma più soddisfacente è quello di trattare l'equazione di convezion-diffusione con le tecniche CFD, generalmentediscretizzandola con uno schema alle differenze finite; si tratta del cosidetto LBM Ibrido. Un modello LBM Ibrido è stato trattato da me durante il mio lavoro di tesi, la cui descrizione la si può consultare nell'apposita sezione del sito o nella presentazione del lavoro di laurea.


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